MST最小生成树及Prim普鲁姆算法

MST在前面学习了Kruskal算法，还有一种算法叫做Prim的。这两者的区别是Prim算法适合稠密图，比如说鸟巢这种几乎所有点都有相连的图。其时间复杂度为O(n^2)，其时间复杂度与边的数目无关；而kruskal算法的时间复杂度为O(eloge)，跟边的数目有关，适合稀疏图。

prim算法

基本思想：假设G＝(V，E)是连通的，TE是G上最小生成树中边的集合。算法从U＝{u0}（u0∈V），TE＝{ 空集 }开始。重复执行下列操作：

1.在所有u∈U，v∈V-U的边(u，v)∈E中找一条权值最小的边(u0,v0)并入集合TE中，同时v0并入U，直到V＝U为止；接下里以 v0为边的起点，继续寻找权值最小的边并入集合TE中，依次往复；

2.最后，TE中必有n-1条边，T=(V，TE)为G的最小生成树。

Prim算法的核心：始终保持TE中的边集构成一棵生成树，也就是它与Kruskal算法的主要区别是，Prim是一直保持一种串联的状态而不遵从整体的贪心算法。其实初始点uo的选择可以随意，一般做题题目条件会给出或者取最小的权值边。

其实现的代码如下：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>

#define infinity 1000000
#define max_vertexes 6 

typedef int Graph[max_vertexes][max_vertexes];

void prim(Graph G,int vcount,int father[])
{
int i,j,k;
int lowcost[max_vertexes];
int closeset[max_vertexes],used[max_vertexes];
int min;
for (i=0;i<vcount;i++)
  {
/* 最短距离初始化为其他节点到1号节点的距离 */
    lowcost[i]=G[0][i];
    /* 标记所有节点的依附点皆为默认的1号节点 */
     closeset[i]=0;
  used[i]=0;
    father[i]=-1;
}
used[0]=1; /*第一个节点是在s集合里的*/
/* vcount个节点至少需要vcount-1条边构成最小生成树 */
  for (i=1;i<=vcount-1;i++)
   {
 j=0;
     min = infinity;
       /* 找满足条件的最小权值边的节点k */
     for (k=1;k<vcount;k++)
         /* 边权值较小且不在生成树中 */
 if ((!used[k])&&(lowcost[k]<min))
    {
              min =  lowcost[k];
              j=k;
            }
    father[j]=closeset[j];
printf("%d %d\n",j+1,closeset[j]+1);//打印边
used[j]=1;;//把第j个顶点并入了U中
for (k=1;k<vcount;k++)
         /* 发现更小的权值 */
   if (!used[k]&&(G[j][k]<lowcost[k]))
{
                  lowcost[k]=G[j][k];/*更新最小权值*/
      closeset[k]=j;;/*记录新的依附点*/
    }
   }
}

int main()
{
FILE *fr;
int i,j,weight;
Graph G;
int fatheer[max_vertexes];
for(i=0; i<max_vertexes; i++)
for(j=0; j<max_vertexes; j++)
G[i][j] = infinity;
fr = fopen("prim.txt","r");
if(!fr)
{
printf("fopen failed\n");
exit(1);
}
while(fscanf(fr,"%d%d%d", &i, &j, &weight) != EOF)
{
G[i-1][j-1] = weight;
G[j-1][i-1] = weight;
}
prim(G,max_vertexes,fatheer);
return 0;
}

邻接矩阵的形式进行存储的实现：

#include <stdio.h>
#define n 6
#define MaxNum 10000  /*定义一个最大整数*/

/*定义邻接矩阵类型*/
typedef int adjmatrix[n+1][n+1];   /*0号单元没用*/

typedef struct{
	int fromvex,tovex;
	int weight;
}Edge;
typedef Edge *EdgeNode;

int arcnum;     /*边的个数*/

/*建立图的邻接矩阵*/
void CreatMatrix(adjmatrix GA){
	int i,j,k,e;
	printf("图中有%d个顶点\n",n);
	for(i=1;i<=n;i++){
		for(j=1;j<=n;j++){
			if(i==j){
				GA[i][j]=0;         /*对角线的值置为0*/
			}
			else{
				GA[i][j]=MaxNum;    /*其它位置的值置初始化为一个最大整数*/
			}
		}
	}
	printf("请输入边的个数：");
	scanf("%d",&arcnum);
	printf("请输入边的信息，按照起点，终点，权值的形式输入：\n");
	for(k=1;k<=arcnum;k++){
		scanf("%d,%d,%d",&i,&j,&e);  /*读入边的信息*/
		GA[i][j]=e;
		GA[j][i]=e;
	}
}

/*初始化图的边集数组*/
void InitEdge(EdgeNode GE,int m){
	int i;
	for(i=1;i<=m;i++){
		GE[i].weight=0;
	}
}

/*根据图的邻接矩阵生成图的边集数组*/
void GetEdgeSet(adjmatrix GA,EdgeNode GE){
	int i,j,k=1;
	for(i=1;i<=n;i++){
		for(j=i+1;j<=n;j++){
			if(GA[i][j]!=0&&GA[i][j]!=MaxNum){
				GE[k].fromvex=i;
				GE[k].tovex=j;
				GE[k].weight=GA[i][j];
				k++;
			}
		}
	}
}

/*按升序排列图的边集数组*/
void SortEdge(EdgeNode GE,int m){
	int i,j,k;
	Edge temp;
	for(i=1;i<m;i++){
		k=i;
		for(j=i+1;j<=m;j++){
			if(GE[k].weight>GE[j].weight){
				k=j;
			}
		}
		if(k!=i){
			temp=GE[i];GE[i]=GE[k];GE[k]=temp;
		}
	}
}

/*利用普里姆算法从初始点v出发求邻接矩阵表示的图的最小生成树*/
void Prim(adjmatrix GA,EdgeNode T){
	int i,j,k,min,u,m,w;
	Edge temp;
	/*给T赋初值，对应为v1依次到其余各顶点的边*/
	k=1;
	for(i=1;i<=n;i++){
		if(i!=1){
			T[k].fromvex=1;
			T[k].tovex=i;
			T[k].weight=GA[1][i];
			k++;
		}
	}
	/*进行n-1次循环，每次求出最小生成树中的第k条边*/
	for(k=1;k<n;k++){
		min=MaxNum;
		m=k;
		for(j=k;j<n;j++){
			if(T[j].weight<min){
				min=T[j].weight;m=j;
			}
		}
		/*把最短边对调到k-1下标位置*/
		temp=T[k];
		T[k]=T[m];
		T[m]=temp;
		/*把新加入最小生成树T中的顶点序号赋给j*/
		j=T[k].tovex;
		/*修改有关边，使T中到T外的每一个顶点保持一条到目前为止最短的边*/
		for(i=k+1;i<n;i++){
			u=T[i].tovex;
			w=GA[j][u];
			if(w<T[i].weight){
				T[i].weight=w;T[i].fromvex=j;
			}
		}
	}
}

/*输出边集数组的每条边*/
void OutEdge(EdgeNode GE,int e){
	int i;
	printf("按照起点，终点，权值的形式输出的最小生成树为：\n");
	for(i=1;i<=e;i++){
		printf("%d,%d,%d\n",GE[i].fromvex,GE[i].tovex,GE[i].weight);
	}
}

void main(){
	adjmatrix GA;
	Edge GE[n*(n-1)/2],T[n];
	CreatMatrix(GA);
	InitEdge(GE,arcnum);
	GetEdgeSet(GA,GE);
	SortEdge(GE,arcnum);
	Prim(GA,T);
	printf("\n");
	OutEdge(T,n-1);
}