leetcode面试准备: Maximal Rectangle

1 题目

Given a 2D binary matrix filled with 0's and 1's, find the largest rectangle containing all ones and return its area.

接口: int maximalRectangle(char[][] matrix)

2 思路

这是一道非常综合的题目，要求在0-1矩阵中找出面积最大的全1矩阵。刚看到这道题会比较无从下手，brute force就是对于每个矩阵都看一下，总共有m(m+1)/2*n(n+1)/2个子矩阵（原理跟字符串子串类似，字符串的子串数有n(n+1)/2，只是这里是二维情形，所以是两个相乘），复杂度相当高，肯定不是面试官想要的答案，就不继续想下去了。

这道题的解法灵感来自于Largest Rectangle in Histogram这道题，假设我们把矩阵沿着某一行切下来，然后把切的行作为底面，将自底面往上的矩阵看成一个直方图（histogram）。直方图的中每个项的高度就是从底面行开始往上1的数量。根据Largest Rectangle in Histogram我们就可以求出当前行作为矩阵下边缘的一个最大矩阵。接下来如果对每一行都做一次Largest Rectangle in Histogram，从其中选出最大的矩阵，那么它就是整个矩阵中面积最大的子矩阵。

算法的基本思路已经出来了，剩下的就是一些节省时间空间的问题了。

我们如何计算某一行为底面时直方图的高度呢？如果重新计算，那么每次需要的计算数量就是当前行数乘以列数。然而在这里我们会发现一些动态规划的踪迹，如果我们知道上一行直方图的高度，我们只需要看新加进来的行（底面）上对应的列元素是不是0，如果是，则高度是0，否则则是上一行直方图的高度加1。利用历史信息，我们就可以在线行时间内完成对高度的更新。我们知道，Largest Rectangle in Histogram的算法复杂度是O(n)。所以完成对一行为底边的矩阵求解复杂度是O(n+n)=O(n)。接下来对每一行都做一次，那么算法总时间复杂度是O(m*n)。

空间上，我们只需要保存上一行直方图的高度O(n)，加上Largest Rectangle in Histogram中所使用的空间O(n)，所以总空间复杂度还是O(n)

复杂度: Time: O(m*n); Space: O(n)

3 代码

	public int maximalRectangle(char[][] matrix) {

		int result = 0;

		int row = matrix.length;

		if (matrix == null || row == 0) {

			return result;

		}

		int col = matrix[0].length; // O(n)空间

		int[] height = new int[col];

		for (int i = 0; i < row; i++) {

			for (int j = 0; j < col; j++) {

				if (matrix[i][j] == '0') {

					height[j] = 0;

				} else {

					height[j] += 1;

				}

			}

			result = Math.max(result, largestRectangleArea(height));

		}

		return result;

	}

	private int largestRectangleArea(int[] height) {

		int result = 0;

		int len = height.length;

		Deque<Integer> stack = new LinkedList<Integer>();

		for (int i = 0; i < len;) {

			if (stack.isEmpty() || height[stack.peek()] < height[i]) {

				stack.push(i);

				i++;

			} else {

				int tmp = stack.pop();

				int count = stack.isEmpty() ? i : i - stack.peek() - 1;

				result = Math.max(result, count * height[tmp]);

			}

		}

		while (!stack.isEmpty()) {

			int tmp = stack.pop();

			int count = stack.isEmpty() ? len : len - stack.peek() - 1;

			result = Math.max(result, count * height[tmp]);

		}

		return result;

	}

4 总结

O(m*n)时间内就可以完成对最大矩阵的搜索。动态规划、栈的思想。

5 参考