清北学堂2017NOIP冬令营入学测试P4749 C’s problem(c)

P4746 C’s problem(c)

时间: 1000ms / 空间: 655360KiB / Java类名: Main

背景

冬令营入学测试

描述

题目描述

小C是一名数学家，由于它自制力比较差，经常通宵研究数学问题。

这次它因为这个数学问题已经两天两夜没有睡觉了，再不研究出来就要出人命了！快帮帮它吧！

这个问题是这样的，有一个数n，将其拆分成若干自然数之和，要求乘积最大！

如果你以为问题仅仅这么简单，那你就太naive了。

由于小C挑战自己的自我修养，它规定分成的自然数两两之间一定不能相等！

它请你输出这个乘积最大是多少，但这个答案太大了，小C并没有兴趣看那么长的数字，它只想知道这个数对1000000007取模后的值是多少。

输入格式

一行一个数表示n

输出格式

一个数表示答案

备注

输入样例

输出样例

数据范围

对于30%的数据n<=10。

对于50%的数据n<=10000。

对于100%的数据1<=n<=1000000000。

30分暴力

#include<iostream>

#include<cstdio>

#define mod 1000000007

using namespace std;

int n;

long long ans;

bool v[];

void dfs(int now,int remain,long long s)//now当前分出来的数，remain还剩下多少，s乘积

{

    if(remain==)

    {

        ans=max(s,ans);

        return ;

    }

    for(int i=now+;i<=remain;i++)

    {

        if(!v[i])//不能有重复

        {

            v[i]=true;

            dfs(i,remain-i,s*i%mod);

            v[i]=false;

        }

    }

}

int main()

{

    scanf("%d",&n);

    if(n==)//1不用拆

    {

        cout<<;

        return ;

    }

    dfs(,n,);

    if(ans==n) cout<<ans-;//2、3、4的结果应该是1、2、3，但dfs结果是2,3，4，因为拆分成了0和本身。dfs时从1开始，所以2,3,4的0乘本身算成了本身。>4的数答案大于本身，所以不用管

    else cout<<ans;

}

AC做法：

本题不难，难就难在找规律。

我们设待拆分数为n

看：

5=2*3

6=2*4 4是3+1得到的

7=3*4 3是2+1得到的

8=3*5 5是4+1得到的

9=2*3*4 数的个数增加1个，第1个数变成从2开始

10=2*3*5 5是4+1得到的

11=2*4*5 4是3+1得到的

12=3*4*5 3是2+1得到的

13=3*4*6 6是5+1得到的

14=2*3*4*5 数的个数增加1个，第1个数变成从2开始

由此得到第一个规律，对于数n，要么是n-1中的某一个数+1，要么是数的个数+1，第1个数变成2，往后递增

那么，什么时候对前一个数+1，什么时候数的个数+1呢？

我们再看：

本题要求乘积最大，设2个数a，b，且a<b，那么（a+1）*b=a*b+a，a*（b+1）=a*b+b；所以（a+1）*b<a*（b+1）。

由此可以得出结论，若给拆分后的数+1，那么最优解应该是给大的数+1

继续观察规律:

9拆成2*3*4，3个数

10：4（第3个数）+1

11：3（第2个数）+1

12：2（第1个数）+1

13：5（第3个数）+1

所以第二个规律：对于数n-1得到n时，给某个数+1是倒着来加的（语言表达能力有限，不懂请留言）

接下来，什么时候是数的个数+1呢？

5是2个数的开始，拆成2*3

9是3个数的开始，拆成2*3*4

14是4个数的开始，拆成2*3*4*5

由此可以推出

20是5个数的开始，拆成2*3*4*5*6

所以第三个规律：对于数n，若是可以拆成2*3*4*5*6……的形式，那个到n的最优解就是数的个数+1，第1个数变成2，往后递增

为什么我是从5开始找规律呢？因为当n<=4时，在拆出的数不相等的条件下，其本身最大，可以自己验证。

所以第四个规律：当n<=4时，答案就是本身

由以上4个规律，得到最终算法：

0、if（n<=4） cout<<n，结束

1、把数n从2开始分，拆成2*3*4*5……，直至拆到不够拆为止

2、如果n恰好拆完，那么答案就是2*3*4*5*6……，结束程序

3、如果n拆不完，设n拆出的数分别为a（1）、a（2）、a（3）、a（4）……a（m）。

将剩下的数从a（m）开始，依次给a（m）加1、a（m-1）加1、a（m-2）……a（1）加1，直至加到n剩下的数全都加进去。若加到a（1），n剩下的数还没加完，则再从a（m）开始。

4、最终答案就是a（1）*a（2）*a（3）*……a（m）

#include<cstdio>

#define mod 1000000007

using namespace std;

int n,now=,a[],cnt;

long long ans=;

int main()

{

    scanf("%d",&n);

    if(n<=)

    {

        printf("%d",n);

        return ;

    }

    while(n>=now)

    {

        a[++cnt]=now;

        n-=now;

        now++;

    }

    if(!n)

    {

        for(int i=;i<=cnt;i++)

         ans=a[i]%mod*ans%mod;

        printf("%d",ans);

        return ;

    }

    int tot=cnt;

    while(n)

    {

        if(!tot) tot=cnt;

        a[tot--]++;

        n--;

    }

    for(int i=;i<=cnt;i++)

         ans=a[i]%mod*ans%mod;

    printf("%d",ans);

    return ;

}