SDOI2018一轮NOI培训 题目整理

\(qwq\)首先，这些题对于我而言……类似于\(emmm\)洪水猛兽

\(\mathcal{Day \ \ 1}\)

T1

\(\mathcal{\color{red}{Description}}\)

作为钦钦草原最绿的男人，杨某针每天都要开车巡视钦钦草原一圈。钦钦草原由 \(n\) 个城市组成， \(m\) 条双向道路连接着它们。经过第 \(i\) 条道路要花费的

时间是 \(2^i\)。

杨某针想要经过每条道路至少一次，在此基础上他想最小化他花费的时间。但作为曾经 \(CTSC\) 的 \(Cu\) 选手，他并不能很快地计算出这个问题。所以他向你求助。

【输入格式】

从文件 \(carcar.in\) 中读入数据。

输入第一行包含两个正整数 \(n, m\)。

接下来 \(m\) 行，每行两个正整数 \(a_i, b_i\)，表示第 \(i\) 条边连接点 \(a_i\) 和 \(b_i\)，它的权值为 \(2^i\)。

保证 \(a_i ,b_i\)，不存在重边，且任意两个点之间可以互相到达。

【输出格式】

输出到文件 \(carcar.out\) 中。

输出一行一个整数，表示答案对 \(10^9 + 7\) 取模的值。

\(\mathcal{\color{red}{Solution}}\)

首先我们要认识到，这个题类似于求一个欧拉路这么一个东西。但是要求遍历所有的边并回到出发点，那么这不就是传说中的——一笔画问题吗qwq？

嗯，那就是欧拉图了!即，如果你想对一个图进行一笔画，那么首先你需要它是一个偶图，意思就是需要这个图上，度数为奇数的点的个数为0或者为2。我们再考虑，一条路径在最优情况下，至多通过两次，因为通过三次就等同于通过一次，以此类推。

那，首先我们需要对这张图进行重构，如果不是一张偶图的话，我们就要添一条边。那添边怎么添呢？当然是贪心地、单调地添边啦！所以不妨在最小生成树中选边。而对于这种贪心的方式，由于它的边权是2的次幂，所以因为$$\sum\limits_{i = 1}^{n - 1}{2^i} < 2^n$$，可以保证贪心地添边是没错的，因为无论怎么添边，之后的一定没有之前的更优。

于是结束，撒花花！

至于代码，就是一遍\(dfs\)加上一次最小生成树，时间复杂度\(O(n + m)\)，完全可以接受。有些有意思的小细节也是可圈可点的\(qwq\).

const int maxn=401000;
const int mod=1e9+7;
struct node{
	int point;
	int weight;
	int nxt;
};
node line[maxn<<1];
int head[maxn],tail;
int ans=0;
int deg[maxn];
void add(int a,int b,int c){
	line[++tail].point = b;
	line[tail].weight = c;
	line[tail].nxt = head[a];
	head[a] = tail;
}
int f[maxn];
int find(int x){
	return f[x] == x ? x : f[x] = find(f[x]) ;
}
bool _union(int a,int b){
	int f1 = find(a), f2 = find(b);
	if(f1 == f2)	return false;//无法合并
	 f[f1] = f2;	return true;//合并完返回
}
void dfs(int now,int fa){
	for(int i=head[now];i;i=line[i].nxt)
		if(line[i].point!=fa)//遍历整颗生成树
		{
			dfs(line[i].point,now);//向下递归解决子问题
			if(deg[line[i].point])	deg[now]^=1,ans=(ans+line[i].weight)%mod;//如果儿子的度数为奇数，我们就补一条，然后自己的度数++
		}
	return ;
}
int main(){
	int now = 1,a,b,n,m;
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= n;i ++)	f[i] = i ;//并查集初始化
	for(int i = 1; i <= m;i ++)
	{
		scanf("%d%d",&a,&b);
		now <<= 1;//now为边权
		now = now % mod;
		ans = (ans + now) % mod ;//先将每条边都算一遍
		if(_union(a,b))	add(a, b, now), add(b, a, now) ;//因为边权是有序的，所以可以直接跑
		deg[a]^=1, deg[b]^=1;//度数问题我们只用关心奇偶就可以了
	}
	dfs(1, 0) ;//其实从哪遍历都一样。
	printf("%d", ans) ;//输出
}

T2

\(\mathcal{\color{red}{Description}}\)

Ps：前不久因为我太颓了……所以这个就鸽了……ORZ我慢慢更……有些题不会我还要现学啊