bzoj P3884 上帝与集合的正确用法

Description

 

根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的：

第一天， 上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。

第二天， 上帝创造了一个新的元素，称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“α”。

第三天， 上帝又创造了一个新的元素，称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“β”。

第四天， 上帝创造了新的元素“γ”，“γ”被定义为“β”的集合。显然，一共会有16种不同的“γ”。

如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有65536种，第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。

然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素……

然而不久，当上帝创造出最后一种元素“θ”时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。

至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种？

上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。

你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素，或10^18次，或者干脆∞次。

 

一句话题意：

Input

 

接下来T行，每行一个正整数p，代表你需要取模的值

Output

T行，每行一个正整数，为答案对p取模后的值

---

---

题面仿佛在说，无论是几个2在对同一个数取模时答案相同，

用小模数尝试下，发现：

只要这个好几个2叠起来的数比模数大，无论是几个数蝶祈来，仿佛余数都相同；

然而交上去，一发入WA

经试验发现这个“结论”只在模数小于5000时有效，好弱；

那这个题怎么做呢？

用欧拉定理（费马-欧拉定理）——

首先题目求

$$ 2^{2^{2^{...}}}(mod)p $$

设k,q满足在$s^{k}·q=p$一式中q为正的奇数；

整理（破坏）这个式子

$$(2^{k}*2^{2^{2^{...}}-k} (mod)q)(mod)p$$

然后$2^{k}$快速幂算

剩下$2^{2^{2^{...}}-k} (mod) q$

mod左右互质(一偶一奇)

于是欧拉定理的一个引理

$$x^{y}==x^{y(mod)Φ(p)}  (mod)p$$

（条件是x⊥p）

剩下的式子变成$2^{(2^{2^{...}}-k)(mod)φ(q)} (mod)q$

于是这一串指数又可以递归算下去直到模数为1；

代码：

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int work(int );
long long Sqr(long long ,int ,int );
int fi(int );
int main()
{
    int i,j,k,T,p,ans;
    scanf("%d",&T);
    for(i=;i<=T;i++){
        scanf("%d",&p);
        ans=work(p);
        printf("%d\n",ans);
    }
}
int work(int x){
    int q,k2,k;
    if(x==)return ;
    q=x,k2=,k=;
    while(!(q&))
        k2<<=,k++,q>>=;
    return k2*Sqr(,work(fi(q))+fi(q)-k%fi(q),x)%x;
}
long long Sqr(long long x,int n,int mod){
    long long ret=;
    while(n){
        if(n&)
            (ret*=x)%=mod;
        n>>=;
        (x*=x)%=mod;
    }
    return ret;
}
int fi(int x){
    int i,re=x;
    for(i=;i*i<=x;i++){
        if(!(x%i)){
            re/=i;re*=i-;
            while(!(x%i))
                x/=i;
        }
    }
    if(x^)re/=x,re*=x-;
    return re;
}