【bzoj3997】[TJOI2015]组合数学 Dilworth定理结论题+dp

题目描述

给出一个网格图，其中某些格子有财宝，每次从左上角出发，只能向下或右走。问至少走多少次才能将财宝捡完。此对此问题变形，假设每个格子中有好多财宝，而每一次经过一个格子至多只能捡走一块财宝，至少走多少次才能把财宝全部捡完。

输入

第一行为正整数T，代表数据组数。

每组数据第一行为正整数N，M代表网格图有N行M列，接下来N行每行M个非负整数，表示此格子中财宝数量，0代表没有

输出

输出一个整数，表示至少要走多少次。

样例输入

1
3 3
0 1 5
5 0 0
1 0 0

样例输出

10

---

题解

Dilworth定理结论题+dp

Dilworth定理：DAG最小路径覆盖=最长反链

其中：

最小路径覆盖指：选择最少的路径数，使得每个点在所有路径中出现至少1次。

最长反链指：选择最多的点，使得选定的点两两不能到达。

本题点带有权值（最小路径覆盖中至少出现v次，最长反链中计算的是权值和），也是一样的（可以看作是v个点）。

然后题目要求最小路径覆盖，转化为最长反链来求，而两两不能到达就相当于二维数点问题。

把原图按行翻转，就变为了：选择权值和最大的点，使得第i个点的横、纵坐标均大于第i-1个点。

设$f[i][j]$表示选择点$(i,j)$的最大权值和，那么状态转移方程为$f[i][j]=MAX_{k=0}^{i-1}MAX_{l=0}^{j-1}f[k][l]+a[i][j]$。可以使用二维前缀最大值优化这个过程，并且实际代码中可以不维护f数组。

时间复杂度$O(Tnm)$

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define N 1010
using namespace std;
int a[N][N] , f[N][N] , mx[N][N];
inline char nc()
{
	static char buf[100000] , *p1 , *p2;
	return p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf , 1 , 100000 , stdin) , p1 == p2) ? EOF : *p1 ++ ;
}
inline int read()
{
	int ret = 0; char ch = nc();
	while(!isdigit(ch)) ch = nc();
	while(isdigit(ch)) ret = ((ret + (ret << 2)) << 1) + (ch ^ '0') , ch = nc();
	return ret;
}
int main()
{
	int T = read();
	while(T -- )
	{
		int n = read() , m = read() , i , j;
		for(i = n ; i ; i -- )
			for(j = 1 ; j <= m ; j ++ )
				a[i][j] = read() , f[i][j] = mx[i][j] = 0;
		for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
			for(j = 1 ; j <= m ; j ++ )
				mx[i][j] = max(mx[i - 1][j - 1] + a[i][j] , max(mx[i - 1][j] , mx[i][j - 1]));
		printf("%d\n" , mx[n][m]);
	}
	return 0;
}