Leetcode:Container With Most Water分析和实现

题目大意是提供n个非负整数，a1,...,an，可以将其理解为多个边界（垂直的线段），其中ai处于x坐标i处，并且ai代表的线段高度即为ai的值。要求我们取这样的i与j，使得ai与aj以及x坐标轴围成的碗状物能容纳面积最多的水（即abs(i-j)*min(ai,aj)最大）。

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最简单的方案就是暴力枚举：

res= -1, maxl = 0, maxr = 0

for(i=0; i < n; i++)

　　for(j = i + 1; j < n; j++)

　　　　res = max(abs(i-j)*min(a[i],a[j]), res)

说一下我的思路。假设函数maxCapacity({ai,...,aj})用于计算ai,...,aj中所能围成的碗状物的最大的保存水的容量，而函数capacity(ai,aj)=abs(i-j)*min(ai,aj)。

对于ai,...,aj，其中1<=i<j<=n：

若ai<aj，那么maxCapacity({ai,...,aj})=max(capacity(ai,aj), maxCapacity({ai+1,...,aj})

若ai>aj，那么maxCapacity({ai,...,aj})=max(capacity(ai,aj), maxCapacity({ai,...,aj-1})

若ai==aj，那么maxCapacity({ai,...,aj})=max(capacity(ai,aj), maxCapacity({ai+1,...,aj-1})

说明一下原因，如果ai和aj围成的碗状物的容量不是最大的，那么结果的边界必定不可能包含ai和aj中的较小值。这是因为对于最终的最优边界ab,ae(e>b)，不妨假设ab=min(ai,aj)，那么(e-b)*min(ab,ae)<=(e-b)*min(ai,aj)<(j-i)*min(ai,aj)=capacity(ai,aj)。这与ab和ae作为最优边界的定义相悖，因此结果的边界必定不可能包含ai和aj中的较小值。对于ai==aj的情况，ai和aj都可以作为较小值，因此ai和aj都不可能是最优边界之一。故最终的maxCapacity可以这样实现：

maxCapacity(a, i, j):

　　if(i >= j)

　　　　return 0

　　if(ai < aj)

　　　　sub = maxCapacity(a, i+1, j)

　　else if(ai > aj)

　　　　sub = maxCapacity(a, i, j-1)

　　else

　　　　sub = maxCapacity(a, i+1, j-1)

　　return max((j - i) * min(a[i], a[j]), sub)

整段代码不算上的递归的部分的时间复杂度为O(1)，而内部只发生一次递归且每次递归都必定将传入集合的大小减少1，而集合的初始大小为n，因此递归最多会发生n次，故总的时间复杂度为O(1)*n=O(n)。

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最后老规矩，贴代码

 package cn.dalt.leetcode;

 /**
  * Created by dalt on 2017/6/17.
  */
 public class ContainerWithMostWater {
     public int maxArea(int[] height) {
         return maxArea(height, 0, height.length - 1);
     }

     private int maxArea(int[] height, int i, int j) {
         int sub;
         if (j <= i) {
             return 0;
         } else if (height[i] < height[j]) {
             sub = maxArea(height, i + 1, j);
         } else if (height[i] > height[j]) {
             sub = maxArea(height, i, j - 1);
         } else {
             sub = maxArea(height, i + 1, j - 1);
         }
         return Math.max((j - i) * Math.min(height[i], height[j]), sub);
     }
 }