【XSY2753】LCM

Description

　　

　　给你\(n,k\)，要你选一些互不相同的正整数，满足这些数的lcm为\(n\)，且这些数的和为\(k\)的倍数。

　　

　　求选择的方案数。对\(232792561\)取模。

　　

　　\(n\le10^{18},k\le20，n的全部质因子都\le100\)

　　　

　　

　　

Solution

　　

　　\(n\le10^{18}\)时其质因数个数最多只有15个。记\(n\)的质因子个数为\(m\)。

　　

​　　设\(g_{i,j}\)表示有多少个\(n\)的因数\(d\)，满足\(d\)中\(i\)状态的质因子的指数与\(n\)相同，且\(d\%k=j\)。

　　

　　再设\(f_{i,j}\)，表示从\(g_{i}\)所涉及的数组成的数集\(A_i\)中有多少个子集，使得子集中的数之和模\(k\)为\(j\)。

　　

　　这点可以用生成函数解决：

\[G_i(x)=\prod_{a\in A_i}(1+x^a)
\]

　　则\(f_{i,j}=G_i(x)[j]\)。

　　

​　　考虑许多个\(f_{i,j}\)怎样组合才对答案有贡献。当下列条件同时满足时：

　　

　　（1）\(i_1|i_2|...|i_s=2^m-1\)

　　

​　　（2）\(i_1\neq i_2\neq...\neq i_s\)

　　

​　　（3）\(j_1+j_2+...+j_s\equiv0\pmod k\)

　　

　　则会对\(Ans\)有\(\prod f_{i,j}\)的贡献。

　　

　　其实我们要求一个数组\(h_{i,j}\)表示任选所有数字，使得\(i\)状态表示的每个质因子\(p\)，至少存在一个数满足其\(p\)的指数与\(n\)中相同，且所有数加起来模\(k\)等于\(j\)的方案数。显然答案是\(h_{2^m-1,0}\)。

　　

　　对每一行\(f_i\)单独做一次DFT，此时得到每行\(f_i\)的点值表达。我们要做的，是选择那些编号或起来恰好等于\(2^m-1\)的行，将它们的点值表达对位相乘，累加到一个新数组\(tmp\)，这相当于枚举哪些行参与贡献、枚举这些行的哪一个\(f_{i,j}\)参与贡献。对此\(tmp\)做逆DFT，就可以得到\(h_{i}\)了！

　　

　　所以这部分如何操作？我们发现每一列的操作模式是相同的且互不影响。那么现在我们只看第一列即\(f_{i,0}\)，将这一列数拉出来方便看，设为\(a_i\)，其中\(a_i=DFT(f_i)[0]\)。

　　

​　　另起一个命名空间：\(f_i\)表示从\(a\)中选择若干个数使得编号或起来等于\(i\)时所有选择数的乘积，的所有情况之和。

　　

　　构造莫比乌斯变换\(F_S=\sum_{T\in S}{f_T}=\prod_{i\in S}(1+a_i)\)。最后一个式子只要将括号展开，会得到许多乘积之和，每一个乘积都属于某一个\(f\)，因此是成立的。

　　

　　根据莫比乌斯反演，有\(f_S=\sum_{T\in S}(-1)^{|S|-|T|}F_T\)，因此若我们知道\(F\)，就可以暴力地求\(f_{2^m-1}\)。那么\(f_{2^m-1}\)其实就是\(tmp\)的第0项，因为它是一种或的组合形式，满足粗体字，解决了一列的操作，那么其他列同理。

　　

​　　\(F\)怎么求呢？这里要用到快速莫比乌斯变换FMT，即求解\(F_S=\prod_{T\in S}g(T)\)，其中\(g\)是一个已知函数。

　　

​　　初始时\(F_S=g(S)\)。考虑补全\(F_S\)的内容，即考虑自己\(F_i\)如何去补全别人的\(F_j\)。有一种方式可以无重复地做到这点。\(F_i\)能更新\(F_j\)当且仅当\(j\)是由\(i\)的某一位0改成1得到。从低到高枚举改第\(x\)位，之后从小到大循环\(i\)，如果\(i\)的第\(x\)位是0，那么更新\(F_{i+2^x}+=F_i\)。为什么要这样做？因为这样每个\(F_i\)所包含的元素都会只统计一次。假设\(F_i\)中\(g(j)\)被统计了多次，那就说明\(g(j)\)贡献去\(F_i\)的路径出现分叉和合并，即有人先改了高位、有人又先改了低位，两个过程又是同时进行的，这与我们算法设计的“逐位修改”有矛盾。因此可以这么做。

　　

​　　总时间复杂度\(\mathcal O(k^22^m+km2^m)\)。

　　

​　　交题不小心把yww的std交上去了，常数太优秀，我的代码覆盖不掉他。qwq

　　　　

　　

　　

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int PN=26,MOD=232792561,G=71;
ll n;
int m;
int d[PN],id[PN],idcnt,w[410][2];
int p[PN]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97};
int f[1<<15][20];
inline int bit(int i){return 1<<(i-1);}
int fmi(int x,int y,int mod=MOD){
	int res=1;
	for(;y;x=1LL*x*x%mod,y>>=1)
		if(y&1) res=1LL*res*x%mod;
	return res;
}
void init_rt(){
	int rt=fmi(G,(MOD-1)/m);
	w[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=400;i++) w[i][0]=1LL*w[i-1][0]*rt%MOD;
	for(int i=0;i<=400;i++) w[i][1]=fmi(w[i][0],MOD-2);
}
void dft(int n,int *a,int t){
	static int b[30];
	for(int i=0;i<n;i++) b[i]=0;
	for(int i=0;i<n;i++)
		for(int j=0;j<n;j++)
			(b[i]+=1LL*a[j]*w[i*j][t]%MOD)%=MOD;
	if(t){
		int invn=fmi(n,MOD-2);
		for(int i=0;i<n;i++) b[i]=1LL*b[i]*invn%MOD;
	}
	for(int i=0;i<n;i++) a[i]=b[i];
}
void depart(){
	ll x=n;
	for(int i=1;i<PN;i++){
		d[i]=0;
		while(x%p[i]==0) x/=p[i],d[i]++;
		if(d[i]) id[i]=++idcnt;
	}
}
void add(int x,int y){
	static int t[30];
	for(int i=0;i<m;i++) t[i]=f[x][i];
	for(int i=0;i<m;i++)
		(f[x][(i+y)%m]+=t[i])%=MOD;
}
void dfsdiv(int x,int state,int mulmodk){
	if(x==PN){
		add(state,mulmodk);
		return;
	}
	for(int i=0;i<=d[x];i++){
		if(i&&(i==d[x]))
			dfsdiv(x+1,state|bit(id[x]),1LL*mulmodk*fmi(p[x],i,m)%m);
		else
			dfsdiv(x+1,state,1LL*mulmodk*fmi(p[x],i,m)%m);
	}
}
void reset(){
	memset(f,0,sizeof f);
}
void Main(){
	scanf("%lld%d",&n,&m);
	init_rt();
	idcnt=0;
	depart();
	int all=1<<idcnt;
	for(int i=0;i<all;i++){
		f[i][0]=1;
		for(int j=1;j<m;j++) f[i][j]=0;
	}
	dfsdiv(1,0,1);
	for(int i=0;i<all;i++) dft(m,f[i],0);
	for(int i=1;i<all;i<<=1)
		for(int j=0;j<all;j++)
			if(!(i&j))
				for(int k=0;k<m;k++)
					f[j+i][k]=1LL*f[j+i][k]*f[j][k]%MOD;
	for(int i=0;i<all-1;i++){
		int a=1;
		for(int j=0;j<idcnt;j++)
			if(!((i>>j)&1)) a=-a;
		for(int j=0;j<m;j++)
			(f[all-1][j]+=a*f[i][j])%=MOD;
	}
	dft(m,f[all-1],1);
	int ans=f[all-1][0];
	printf("%d\n",ans<0?ans+MOD:ans);
}
int main(){
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--) Main();
	return 0;
}