洛谷 P2258 子矩阵 解题报告

P2258 子矩阵

题目描述

给出如下定义：

子矩阵：从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵（保持行与列的相对顺序）被称为原矩阵的一个子矩阵。

例如，下面左图中选取第 2 、 4行和第 2 、 4 、5 列交叉位置的元素得到一个 \(2 \times 3\)的子矩阵如右图所示。

9 3 3 3 9

9 4 8 7 4

1 7 4 6 6

6 8 5 6 9

7 4 5 6 1

的其中一个\(2 \times 3\)的子矩阵是

4 7 4

8 6 9

相邻的元素：矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素（如果存在的话）是相邻的。

矩阵的分值：矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。

本题任务：给定一个\(n\)行\(m\)列的正整数矩阵，请你从这个矩阵中选出一个\(r\)行\(c\)列的子矩阵，使得这个子矩阵的分值最小，并输出这个分值。

(本题目为2014NOIP普及T4)

输入输出格式

输入格式：

第一行包含用空格隔开的四个整数\(n,m,r,c\) ，意义如问题描述中所述，每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来的\(n\)行，每行包含\(m\)个用空格隔开的整数，用来表示问题描述中那个\(n\)行\(m\)列的矩阵。

输出格式：

一个整数，表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。

数据说明

对于\(50\%\)的数据， \(1≤n≤12,1≤m≤12\)，矩阵中的每个元素\(1 ≤ a_{ij} ≤ 20\)；

对于\(100\%\)的数据，\(1 ≤ n ≤ 16,1 ≤ m ≤ 16\)，矩阵中的每个元素\(1 ≤ a_{ij} ≤ 1,000,1 ≤ r ≤ n,1 ≤ c ≤ m\)。

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感觉这个题不难想，但不知道为什么做了好久啊。

数据很小，想到状压

但我们发现每一行的排布是一样的，那就不状压了

搜索每一行的排列，即从某一行选择哪些列

然后对选择哪些行做背包即可

复杂度：\(O(C_m^cn^2(c+r))\)

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Code:

#include <cstdio>
#include <cstring>
int min(int x,int y){return x<y?x:y;}
int abs(int x){return x>0?x:-x;}
const int N=17;
int dp[N][N],n,m,r,c,g[N][N],cho[N],cal[N][N],cal0[N],ans=0x3f3f3f3f;
void init()
{
    memset(cal,0,sizeof(cal));
    memset(cal0,0,sizeof(cal0));
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            for(int k=1;k<=c;k++)
                cal[i][j]+=abs(g[i][cho[k]]-g[j][cho[k]]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int k=2;k<=c;k++)
            cal0[i]+=abs(g[i][cho[k]]-g[i][cho[k-1]]);
}
void work()
{
    memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
    dp[0][0]=0;
    for(int i=1;i<=r;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            for(int k=0;k<j;k++)
                dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][k]+cal[k][j]+cal0[j]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans=min(ans,dp[r][i]);
}
void dfs(int dep,int s)
{
    if(dep==c+1)
    {
        init();
        work();
        return;
    }
    int rr=m+dep-c;
    for(int i=s;i<=rr;i++)
    {
        cho[dep]=i;
        dfs(dep+1,i+1);
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&r,&c);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            scanf("%d",&g[i][j]);
    dfs(1,1);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

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2018.7.28