LeetCode 11 水池蓄水问题

今天给大家分享的是一道LeetCode中等难度的题，难度不大，但是解法蛮有意思。我们一起来看题目：

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题意

给定n个非负整数，表示水库当中隔板的高度。每两块隔板之间的距离为1，当下要从n个隔板当中选出两个，在其中注水，并且要使得容纳的水尽量多。请问最多能容纳多少水？可以忽略隔板的宽度，将水库看成是正规的长方体。

样例:

Input: [1,8,6,2,5,4,8,3,7]

Output: 49

题解：

由于水库可以看成是正规的长方体，所以水库的体积可以简化为横截面积。也就是说我们要选择两个隔板，使得隔板之间围成的矩形面积最大。

首先思考暴力求解，我们只需要枚举矩形的两边，两边有了之后，矩形的长，也就是两边之间的距离，矩形的宽就是两边的较小值，所以复杂度是$O(n^2)$。

这样写的代码也很简单，只有几行：

for i in range(n):

  for j in range(i+1, n):

    ret = max(ret, (j-i) * min(a[i], a[j]))

return ret

我们来思考怎么优化，显然大部分情况下$O(n^2)$的算法往往都不是最优解。考虑一个很简单的问题，为什么取最左边和最右边的隔板不行呢？这样不是矩形的长最长么？

不行的原因很简单，因为矩形的长最长的时候，但是矩形的宽不一定很宽。有可能这样的宽很短，就像上面图中展示的一样。如果这时候的结果不是最佳值，那么最佳答案的长一定小于n。如果我们用i和j指代最优解的左右两边的下标，那么显然有1 <= i < j <= n。

也就是说i, j 的位置应该在1, n的内部。我们可以想象一开始的时候i指向1，j指向n，然后逐渐移动到了最优解的位置。我们应该移动i和j，但是每次应该怎么移动呢？究竟是移动i还是移动j呢？

其实稍微想一下就能想到答案，应该移动i和j两个当中隔板比较短的那个。假设i的隔板长度小于j，即使移动i，即使碰到了更长的隔板，面积也不会变大，因为j的长度并没有变，它依旧是短板。所以我们只有移动其中较短的那个，才有让矩形面积变大的可能。

如果i和j的长度一样怎么办？答案是随便移动哪个都一样，有些同学可能还有顾虑。我们不妨使用一下我们之前介绍贪心算法的时候提到的均等假设法。有忘记的同学可以点击下方的链接回顾一下：

贪心算法与均等假设法

我们来举个例子，假设水库隔板的情况是：

5 10 X .. X 4 5

我们一开始的时候i指向左边的5，j指向右边的5，这时候i和j相等。如果移动左边的i，到10，面积并没有变大。接下来会一直移动右边的j，直到j遇到大于10的为止。并不会出现影响正确结果的情况。如果移动右边的j呢？其实也是一样的，因为如果j没有遇到大于5的元素，无论左边指向什么地方，面积都不会增大。当j遇到5以上的数的时候，必然会移动左边的i，一样可能增大面积。

5 10 X .. X 11 5

我们再看这个例子，如果10和11围成的结果是正确答案，那么不论先移动i还是先移动j都是一样的。本质上来说，如果矩形面积要增大，必须要i和j同时指向比当前更大的元素才行，所以先移动哪个并不会影响结果。

这样一来，写代码就方便了，我们可以人为规定如果出现相等，就移动i。写出来代码如下：

i, j = 0, n-1

ret = 0

while i < j:

  ret = max(ret, (j - i) * min(a[i], a[j]))

  if a[i] <= a[j]:

    i += 1

  else:

    j -= 1

return ret

这道题既可以认为是贪心算法，也可以认为是两指针维护区间的问题。不论怎么样解释，写出来的代码是一样的，我个人觉得还是很巧妙的，很适合初学者练手，并且难度也不是很大。希望大家都能领会。

今天的文章就到这里，如果觉得有所收获，请顺手点个关注吧，你们的支持是我最大的动力。