HDU 2191 - 单调队列优化多重背包

题目：

传送门呀传送门~

Problem Description

急！灾区的食物依然短缺！

为了挽救灾区同胞的生命，心系灾区同胞的你准备自己采购一些粮食支援灾区，现在假设你一共有资金n元，而市场有m种大米，每种大米都是袋装产品，其价格不等，并且只能整袋购买。

请问：你用有限的资金最多能采购多少公斤粮食呢？

后记：

人生是一个充满了变数的生命过程，天灾、人祸、病痛是我们生命历程中不可预知的威胁。

月有阴晴圆缺，人有旦夕祸福，未来对于我们而言是一个未知数。那么，我们要做的就应该是珍惜现在，感恩生活——

感谢父母，他们给予我们生命，抚养我们成人；

感谢老师，他们授给我们知识，教我们做人

感谢朋友，他们让我们感受到世界的温暖；

感谢对手，他们令我们不断进取、努力。

同样，我们也要感谢痛苦与艰辛带给我们的财富～

Input

输入数据首先包含一个正整数C，表示有C组测试用例，每组测试用例的第一行是两个整数n和m(1<=n<=100, 1<=m<=100),分别表示经费的金额和大米的种类，然后是m行数据，每行包含3个数p，h和c(1<=p<=20,1<=h<=200,1<=c<=20)，分别表示每袋的价格、每袋的重量以及对应种类大米的袋数。

Output

对于每组测试数据，请输出能够购买大米的最多重量，你可以假设经费买不光所有的大米，并且经费你可以不用完。每个实例的输出占一行。

Sample Input

Sample Output

做法：

设$dp[j]$表示在$j$体积时能够获得的最大收益

设$j=p \cdot v[i] + q$，其中$p = j \ / \ v[i]; \quad q = j \% v[i];$

不难写出：

$dp[j]=max (dp[j-k \cdot v[i]]+k \cdot w[i])$

$\ \ \ \ \ \ \ \,= max (dp[p \cdot v[i] + q - k \cdot v[i]]+k \cdot w[i])$

$\ \ \ \ \ \ \ \,= max (dp[(p-k) \cdot v[i]+q]+k \cdot w[i])$

其中$k \in [0,min(p,c[i])]$，设$h = p - k $，所以 $h \in [p-min(p,c[i]),p]$

$dp[j] = max (dp[h \cdot v[i]+q]+(p-h) \cdot w[i]) \ \ \ \ \ \ \ ,= max (dp[h \cdot v[i]+q]-h\cdot w[i]) + p \cdot w[i]$

观察得到，最后的式子里，是由与$h$有关的一堆东西取max，再加上与$p$有关的一部分，而前面那一堆东西仅与$h$有关，而与$p$无关。

于是考虑用优先队列来优化。

for(Rint i=1;i<=n;i++){

	read(v[i]);read(w[i]);read(c[i]);//读入第i个物品的体积v，价值w，个数c

	for(Rint q=0;q<v[i];q++){//首先枚举余数

		deque<int> Q;//定义双端队列

		for(Rint p=0;p*v[i]+q<=m;p++){//枚举p，已以达到枚举j的目的，j其实就是p*v[i]+q

			//这里的p其实就是上文的h，先枚举着，下面会将不在[p-min(p,c[i]),p]范围内的h舍去

			val[p]=dp[p*v[i]+q]-p*w[i];//先存下来对于当前的p的值dp[p*v[i]+q]-p*w[i]

			while(!Q.empty()&&val[p]>=val[Q.back()])Q.pop_back();//将比这个值小的全都pop掉，保证队列的单调递减性

			Q.push_back(p);//先将当前的p下标push进队列

			int k=p-min(p,c[i]);//范围

			while(!Q.empty()&&Q.front()<k)Q.pop_front();//将超出前面[p-min(p,c[i]),p]范围的下标pop掉，因为对于当前p超出范围了的下标，对于之后的p肯定也超出了范围，自己想一想为什么吧~

			int s=p*v[i]+q;

			dp[s]=max(dp[s],val[Q.front()]+p*w[i]);//去掉出范围的下标之后的队首元素肯定是最大值了哟~记住这是单调队列哈~

		}

	}

}

下面AC代码：

#include<algorithm>

#include<iostream>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<cstdio>

#define Rint register int

#define mem(a,b) memset(a,(b),sizeof(a))

using namespace std;

typedef long long LL;

template<typename T>inline void read(T &x){

    x=0;T w=1,ch=getchar();

    while(!isdigit(ch)&&ch!='-')ch=getchar();

    if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();

    while(isdigit(ch))x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();

    x=x*w;

}

inline void File(){

    freopen("fuck.in","r",stdin);

    freopen("fuck.out","w",stdout);

}

const int maxn=100+10;

int n,m;

int v[maxn],w[maxn],c[maxn];

int val[maxn],dp[maxn];

inline void init(){

	mem(dp,0);

}

#include<queue>

int main(){

    File();

	int T;read(T);

	while(T--){

		init();

		read(m);read(n);

		for(Rint i=1;i<=n;i++){

			read(v[i]);read(w[i]);read(c[i]);

			for(Rint q=0;q<v[i];q++){

				deque<int> Q;

				for(Rint p=0;p*v[i]+q<=m;p++){

					val[p]=dp[p*v[i]+q]-p*w[i];

					while(!Q.empty()&&val[p]>=val[Q.back()])Q.pop_back();

					Q.push_back(p);

					int k=p-min(p,c[i]);

					while(!Q.empty()&&Q.front()<k)Q.pop_front();

					int s=p*v[i]+q;

					dp[s]=max(dp[s],val[Q.front()]+p*w[i]);

				}

			}

		}

		printf("%d\n",dp[m]);

	}

    return 0;

}

/*

以下是lunch大佬的讲解内容：

f[j]=max(f[j-k*a[i]]+k*w[i]) 

j = p * a[i] + q ;

p = j / a[i];

q = j % a[i];

f[j] = max (f[p * a[i] + q - k * a[i]]+k*w[i])

f[j] = max (f[(p-k)*a[i]+q]+k*w[i])

k ∈ [0,min(p,c[i])]

h = p - k ;

h ∈ [p-min(p,c[i]),p]

f[j] = max (f[h*a[i]+q]+(p-h)*w[i])

f[j] = max (f[h*a[i]+q]-h*w[i]) + p * w[i];

For(i, 1, n)

	For(q,0,a[i]-1)

		For(p,0,m/a[i])

*/