http://uoj.ac/problem/108

好神的一道题啊。

原图边权互不相同是重点!

如果有一个点集,有两组边集,要求这两组边集的并集的最小生成树,可以对两组边集分别求一下最小生成树构成新的两组边集,再合并两组新的边集。

还有,对于一个给定的最小生成树,要加入一条边,求加入一条边之后的最小生成树,那么就有这条边把原生成树上的一条边踢掉,或者这条边踢不动原生成树上的任何一条边(这条边加入后构成的环中的任意一条边的边权都小于这条边)。

这道题先考虑一个暴力的做法:先\(2^k\)枚举哪些新道路一定在最小生成树中,先在最小生成树中加入这些新道路,在这个基础上再加原图的边形成最小生成树,然后树的形态确定了,就要确定新道路的值了。对于原图中的边没能加入最小生成树的,肯定要想踢掉它连上后形成的环上的边,但环上原图中的边一定不会被踢掉,只可能踢掉环上的新道路。新道路为了防止自己被踢,就把自己的边权和这条想踢掉它的边的边权取min。

正解就是:改造原图!

先将所有新道路加入最小生成树,原图中最小生成树上没有通过新道路连通的点都缩成一个点(因为这些点之间的边不会对新道路的边权产生任何影响)。缩点之后的原图去掉新道路再求一遍最小生成树,设边集为\(M\),在最外层\(2^k\)枚举哪些新道路一定在最小生成树中,然后拿\(M\)中的边继续加入,无法加入就用来更新新道路的权值。在这里用\(M\)中的边和用缩点后原图的边是等价的,因为\(M\)中的边能代表原图的连通性,而且原图中的边能加入最小生成树的边一定在\(M\)中(是\(M\)的子集),能更新新道路边权的边也一定能被\(M\)中的一条边代替。

时间复杂度\(O(m\log m+2^kk^2)\)。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll; const int N = 100003;
const int M = 300003;
const int K = 23; struct Enode {
int u, v, e;
bool operator < (const Enode &AA) const {
return e < AA.e;
}
} G[M], A[K], New[M], MN[K];
int p[N], Gtot = 0, n, m, k, fa[N], fa2[N], Atot = 0, Newtot = 0, MNtot = 0, tot = 0, remark[N];
ll sp[N]; int find(int x) {return x == fa[x] ? x : fa[x] = find(fa[x]);}
int find2(int x) {return x == fa2[x] ? x : fa2[x] = find2(fa2[x]);} ll sum[K];
bool used[K], mark[K];
struct node {int nxt, to, w;} E[K * K << 1];
int cnt, point[K], deep[K], fadis[K];
void ins(int u, int v, int w) {E[++cnt] = (node) {point[u], v, w}; point[u] = cnt;} void dfs(int x) {
sum[x] = sp[x];
for (int i = point[x]; i; i = E[i].nxt)
if (E[i].to != fa[x]) {
fa[E[i].to] = x;
fadis[E[i].to] = E[i].w;
deep[E[i].to] = deep[x] + 1;
if (E[i].w == 0x7fffffff) mark[E[i].to] = true;
else mark[E[i].to] = false;
dfs(E[i].to);
sum[x] += sum[E[i].to];
}
} void minit(int u, int v, int e) {
if (deep[u] < deep[v]) u ^= v ^= u ^= v;
while (deep[u] > deep[v]) {
if (mark[u] && fadis[u] > e)
fadis[u] = e;
u = fa[u];
}
if (u == v) return;
while (u != v) {
if (mark[u] && fadis[u] > e)
fadis[u] = e;
if (mark[v] && fadis[v] > e)
fadis[v] = e;
u = fa[u]; v = fa[v];
}
} int main() {
scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
int u, v, e, etot = 0;
for (int i = 1; i <= m; ++i) {
scanf("%d%d%d", &u, &v, &e);
G[++Gtot] = (Enode) {u, v, e};
} stable_sort(G + 1, G + Gtot + 1);
for (int i = 1; i <= n; ++i) fa[i] = fa2[i] = i;
for (int i = 1; i <= k; ++i) {
scanf("%d%d", &u, &v);
A[++Atot] = (Enode) {u, v, 0};
u = find(u); v = find(v);
if (u != v) fa[u] = v, ++etot;
} for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", p + i); for (int i = 1; i <= Gtot; ++i) {
u = find(G[i].u); v = find(G[i].v);
if (u != v) {
++etot;
fa[u] = v;
u = find2(G[i].u); v = find2(G[i].v);
if (u != v) fa2[u] = v;
if (etot == n - 1) break;
}
} for (int i = 1; i <= n; ++i) {
if (!remark[find2(i)])
remark[fa2[i]] = ++tot;
remark[i] = remark[fa2[i]];
} for (int i = 1; i <= n; ++i) sp[remark[i]] += p[i]; for (int i = 1; i <= m; ++i) {
u = remark[G[i].u]; v = remark[G[i].v];
if (u != v)
New[++Newtot] = (Enode) {u, v, G[i].e};
} stable_sort(New + 1, New + Newtot + 1);
for (int i = 1; i <= k; ++i) A[i].u = remark[A[i].u], A[i].v = remark[A[i].v]; etot = 0;
for (int i = 1; i <= tot; ++i) fa[i] = i;
for (int i = 1; i <= Newtot; ++i) {
u = find(New[i].u); v = find(New[i].v);
if (u != v) {
fa[u] = v;
++etot;
MN[++MNtot] = New[i];
if (etot == tot - 1) break;
}
} int S = (1 << k); ll ans = 0;
for (int s = 1; s < S; ++s) {
for (int i = 1; i <= tot; ++i) fa[i] = i, point[i] = 0;
cnt = etot = 0;
for (int i = 0; i < k; ++i)
if ((s >> i) & 1) {
u = A[i + 1].u; v = A[i + 1].v;
if (find(u) != find(v)) {
fa[fa[u]] = fa[v];
++etot;
ins(u, v, 0x7fffffff);
ins(v, u, 0x7fffffff);
}
} for (int i = 1; i <= MNtot; ++i) used[i] = false;
if (etot < tot - 1) {
for (int i = 1; i <= MNtot; ++i) {
u = find(MN[i].u); v = find(MN[i].v);
if (u != v) {
used[i] = true;
++etot;
fa[u] = v;
ins(MN[i].u, MN[i].v, MN[i].e);
ins(MN[i].v, MN[i].u, MN[i].e);
if (etot == tot - 1) break;
}
}
} fa[remark[1]] = 0; dfs(remark[1]);
for (int i = 1; i <= MNtot; ++i)
if (!used[i])
minit(MN[i].u, MN[i].v, MN[i].e); ll ret = 0;
for (int i = 1; i <= tot; ++i)
if (mark[i])
ret += sum[i] * fadis[i];
if (ret > ans) ans = ret;
} printf("%lld\n", ans); return 0;
}

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