动态规划——Distinct Subsequences

题目大意：给定字符串S和T，现在从S中任选字符组成T，要求输出方案个数。

Example 1:
Input: S = "rabbbit", T = "rabbit"
Output: 3
Explanation:

As shown below, there are 3 ways you can generate "rabbit" from S.
(The caret symbol ^ means the chosen letters)

rabbbit
^^^^ ^^
rabbbit
^^ ^^^^
rabbbit
^^^ ^^^
Example 2:
Input: S = "babgbag", T = "bag"
Output: 5
Explanation:

As shown below, there are 5 ways you can generate "bag" from S.
(The caret symbol ^ means the chosen letters)

babgbag
^^ ^
babgbag
^^    ^
babgbag
^    ^^
babgbag
  ^  ^^
babgbag
    ^^^

这个题的状态就是原问题的子问题：从S[0..i]中选取字符组成T[0..j]的方案数，有时候越做越有感觉：既然是动态规划问题，求解过程中的状态肯定是原问题的子问题（或者说大多数情况下是这样的）。主要问题在于这个状态转移方程，我拿其中一个状态出来说，在数组下标都不越界的情况下，比如说我现在求dp[i][j]，方案数包括上一个位置的匹配情况dp[i-1][j-1]乘以(S[i] == T[j])这个布尔的判断值和当次匹配的前一个情况dp[i-1][j]，举个例子来说，T[0..1]为“ba”，则dp[i][0]的方案数一定包括S[0..i-1]匹配T[0]=b时的方案数dp[i-1][0]乘以(S[i] == T[0])这个布尔的判断值和S[0..i-1]匹配T[0..1]="ba"时的方案数dp[i-1][1]，加后面那项的原因是dp[i][j]肯定是要包括所有匹配了T[j]的方案数量，这个递推关系是2包括1，3包括2，4包括3...这样的包含关系，所以dp[i][j]只需要再加上一个dp[i-1][j]即可。而前面那个乘以布尔值的原因是如果之前匹配到T[j-1]的话前面那个乘积值dp[i-1][j-1]*(S[i] == T[j])可以不加相当于加0，只为了少个if判断，但是后面的dp[i-1][j]还是要加上的。

 

当然要注意边界条件，我在leetCode上跑程序的时候出现了输入串长度为0的情况导致了数组越界问题。

 

 public int numDistinct(String s, String t) {
         int slen = s.length();
         int tlen = t.length();
         if(slen==0||tlen==0)return 0;
         if(s.equals(t))return 1;
         int[][]dp = new int [slen][tlen];
         for(int i = 0;i<slen;i++)
             for(int j = 0;j<tlen;j++)
                 dp[i][j] = 0;
         int temp = 0;
         char t0 = t.charAt(0);
         for(int i = 0;i<slen;i++) {
             if(s.charAt(i)==t0) {
                 temp++;
                 dp[i][0] = temp;
             }else{
                 if(i>0)dp[i][0] = dp[i-1][0];
                 else dp[i][0] = 0;
             }
         }

         for(int i = 1;i<tlen;i++) {
             for(int j = i;j<slen;j++) {
                 temp = (s.charAt(j)==t.charAt(i))?1:0;
                 dp[j][i] = dp[j-1][i]+dp[j-1][i-1]*temp;
             }
         }
         return dp[slen-1][tlen-1];
     }