次小生成树(lca)
题目描述
原题来自:BeiJing 2010 组队赛
给定一张 N 个点 M 条边的无向图,求无向图的严格次小生成树。
设最小生成树的边权之和为 sum,严格次小生成树就是指边权之和大于 sum 的生成树中最小的一个。
输入格式
第一行包含两个整数 N 和 M,表示无向图的点数与边数;
接下来 M 行,每行三个数 x,y,z表示点 x和点 y 之间有一条边,边的权值为 z。
输出格式
包含一行,仅一个数,表示严格次小生成树的边权和。
数据保证必定存在严格次小生成树。
样例
样例输入
5 6
1 2 1
1 3 2
2 4 3
3 5 4
3 4 3
4 5 6
样例输出
11
#include<bits/stdc++.h>
const int MAXN=,MAXM=;
using namespace std;
int n,m,N;
struct E{
int u,v,f;
long long val;
}a[MAXM*];
bool mw(E a,E b)
{
return a.val<b.val;
}
struct Edge{
int to,next;
long long val;
}edge[MAXM*];
int head[MAXN],num=;
int fa[MAXN],find();
long long ans,mn=;
int f[MAXN][],dep[MAXN];
long long d1[MAXN][],d2[MAXN][];
inline void add(int u,int v,long long val)
{
edge[++num].next=head[u];
edge[num].to=v;
edge[num].val=val;
head[u]=num;
return;
}
inline int find(int a)
{
return a==fa[a]?a:fa[a]=find(fa[a]);
}
inline void grow()
{
int u,v,val,cnt=;
sort(a+,a+m+,mw);
int r1,r2;
for(register int i=;i<=n;++i)fa[i]=i;
for(register int i=;i<=m;++i)
{
u=a[i].u,v=a[i].v,val=a[i].val;
r1=find(u);
r2=find(v);
if(r1!=r2)
{
cnt++;
a[i].f=;
add(u,v,val);
add(v,u,val);
fa[r1]=r2;
ans+=val;
if(cnt==n-) break;
}
}
return;
}
inline void dfs(int u)
{
for(register int i=;i<=N;i++)
{
f[u][i]=f[f[u][i-]][i-];
d1[u][i]=max(d1[u][i-],d1[f[u][i-]][i-]);
if(d1[u][i-]==d1[f[u][i-]][i-])
d2[u][i]=max(d2[u][i-],d2[f[u][i-]][i-]);
else
{
d2[u][i]=min(d1[u][i-],d1[f[u][i-]][i-]);
d2[u][i]=max(d2[u][i-],d2[u][i]);
d2[u][i]=max(d2[u][i],d2[f[u][i-]][i-]);
}
}
for(register int i=head[u];i;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].to;
if(v==f[u][])continue;
f[v][]=u;
d1[v][]=edge[i].val;
dep[v]=dep[u]+;
dfs(v);
}
return;
}
inline int lca(int a,int b)
{
if(dep[a]>dep[b]) swap(a,b);
for(register int i=N;i>=;i--)
{
if(dep[a]<dep[b]&&dep[f[b][i]]>=dep[a]) b=f[b][i];
}
if(a==b)return a;
for(register int i=N;i>=;i--)
{
if(f[a][i]!=f[b][i]){a=f[a][i],b=f[b][i];}
}
return f[a][];
}
inline void Try(int u,int father,long long val)
{
int t;
t=dep[u]-dep[father];
long long mx1=-,mx2=;
for(int i=;i<=N;i++)
{
if(t&(<<i))//注意这一步!!
{
if(mx1<=d1[u][i])
{
mx2=mx1;
mx1=d1[u][i];
mx2=max(mx2,d2[u][i]);
}
else
{
mx2=max(mx2,d1[u][i]);
}
u=f[u][i];//写的好神奇
}
}
if(mx1!=val)
{
if(mn>val-mx1)
{
mn=val-mx1;
}
}
else
{
if(mn>val-mx2)
{
mn=val-mx2;
}
}
return;
}
inline void choose()
{
int f,u,v,val;
for(register int i=;i<=m;++i)
{
if(a[i].f==)
continue;
u=a[i].u;
v=a[i].v;
val=a[i].val;
f=lca(u,v);
Try(u,f,val),Try(v,f,val);
}
return;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(register int i=;i<=m;++i)
{
scanf("%d%d%lld",&a[i].u,&a[i].v,&a[i].val);
}
grow();
N=floor(log(n+0.0)/log(2.0));
dfs();
choose();
printf("%lld",ans+mn);
return ;
}
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