luogu 1169 棋盘制作（单调栈/悬线）

luogu 1169 棋盘制作（单调栈/悬线）

国际象棋是世界上最古老的博弈游戏之一，和中国的围棋、象棋以及日本的将棋同享盛名。据说国际象棋起源于易经的思想，棋盘是一个8*8大小的黑白相间的方阵，对应八八六十四卦，黑白对应阴阳。而我们的主人公小Q，正是国际象棋的狂热爱好者。作为一个顶尖高手，他已不满足于普通的棋盘与规则，于是他跟他的好朋友小W决定将棋盘扩大以适应他们的新规则。小Q找到了一张由N*M个正方形的格子组成的矩形纸片，每个格子被涂有黑白两种颜色之一。小Q想在这种纸中裁减一部分作为新棋盘，当然，他希望这个棋盘尽可能的大。不过小Q还没有决定是找一个正方形的棋盘还是一个矩形的棋盘（当然，不管哪种，棋盘必须都黑白相间，即相邻的格子不同色），所以他希望可以找到最大的正方形棋盘面积和最大的矩形棋盘面积，从而决定哪个更好一些。于是小Q找到了即将参加全国信息学竞赛的你，你能帮助他么？N, M ≤ 2000。

首先，一个是棋盘的矩阵，满足相邻两个元素颜色不同。假设左上角的(1,1)是白色的格子。那么易证，横纵坐标之和是偶数的格子是白色的，是奇数的各自是黑色的。所以逆向思维，只要把给定的矩阵，横纵坐标之和同模2的一种格子反色，问题就变成了求最大的同色矩阵和同色正方形。这是最大子矩阵问题。用单调栈可以做，不过比悬线法烦一些。下面我来介绍一下悬线法。

悬线就是一端贴着不可算入矩形的区域（墙壁）的线。首先，一个最大子矩阵中一定有悬线，不然这个矩阵是可以再扩张的。所以，我们只要枚举所有悬线即可。首先n^2预处理出每个点向上向下能扩展的最大距离。然后从左向右，从右向左分别枚举一遍所有悬线（横向的），找出最大值即可。详见代码。

还有，个人感觉这种题目的思路很重要，就是把求最优解，转化为求出每个元素作为基础的最优值，然后取最优值中的最优值作为答案。

#include <cstdio>
using namespace std;

const int maxn=2005, INF=1e9;\
typedef int inta2[maxn][maxn];

int n, m, ans1, ans2, begin, minup, mindown;
inta2 a, up, down;

int max(int x, int y){ return x<y?y:x; }
int min(int x, int y){ return x<y?x:y; }
int sqr(int x){ return x*x; }

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i=1; i<=n; ++i) //转换棋盘
        for (int j=1; j<=m; ++j){
            scanf("%d", &a[i][j]);
            if (i&1) a[i][j]^=1;
            if (!(j&1)) a[i][j]^=1;
        }
    for (int i=1; i<=n; ++i)
        for (int j=1; j<=m; ++j)
            up[i][j]=(a[i][j]==a[i-1][j]?
                up[i-1][j]+1:1);
    for (int i=n; i>0; --i)
        for (int j=1; j<=m; ++j)
            down[i][j]=(a[i][j]==a[i+1][j]?
                down[i+1][j]+1:1);
    //悬线法
    for (int color=0; color<=1; ++color)
    for (int i=1; i<=n; ++i){
        minup=mindown=INF; begin=1;
        for (int j=1; j<=m; ++j){
            if (a[i][j]!=color){
                minup=mindown=INF;
                begin=j+1; continue;
            }
            minup=min(minup, up[i][j]);
            mindown=min(mindown, down[i][j]);
            ans1=max(ans1, (minup+mindown-1)*(j-begin+1));
            ans2=max(ans2, sqr(min(minup+mindown-1, j-begin+1)));
        }
        minup=mindown=INF; begin=m;
        for (int j=m; j>0; --j){
            if (a[i][j]!=color){
                minup=mindown=INF;
                begin=j-1; continue;
            }
            minup=min(minup, up[i][j]);
            mindown=min(mindown, down[i][j]);
            ans1=max(ans1, (minup+mindown-1)*(begin-j+1));
            ans2=max(ans2, sqr(min(minup+mindown-1, begin-j+1)));
        }
    }
    printf("%d\n%d", ans2, ans1);
    return 0;
}