【Luogu P1120】小木棍

题目：

乔治有一些同样长的小木棍，他把这些木棍随意砍成几段，直到每段的长都不超过$50$。
现在，他想把小木棍拼接成原来的样子，但是却忘记了自己开始时有多少根木棍和它们的长度。
给出每段小木棍的长度，编程帮他找出原始木棍的最小可能长度。

分析：

可以很轻易的写出$\rm dfs$的程序：

 #include <bits/stdc++.h>

 using namespace std;

 const int MAXN = ;

 int st[MAXN], n, s = ;
 bool vis[MAXN];

 void dfs(int cur, int len, int w) {
     if(cur == s / len) {
         cout << len << endl;
         exit();
     }
     if(w == ) {
         dfs(cur + , len, len);
         return;
     }
     for(int i = n - ; i >= ; i--)
         if(w - st[i] >=  && !vis[i]) {
             vis[i] = true;
             dfs(cur, len, w - st[i]);
             vis[i] = false;
         }
 }

 int main() {
     cin >> n;
     for(int i = ; i < n; i++) {
         cin >> st[i];
         s += st[i];
     }
     sort(st, st + n);
     for(int i = ; i <= s; i++)
         if(s % i == ) {
             dfs(, i, i);
         }
     return ;
 }

然而，上面的代码时间复杂度是$O(n! \log  \sum a_i)$左右，显然不可以接受。

首先我们发现：

$1$）从按木棍大到小搜索，因为长度小的比长度大的更加灵活。

$2$）若当前剩余长度$\lt$最小的木棍的长度，那么这个方案就没用了

$3$）如果当前长度的木棍拼接无法成功，那么同样长度的木棍拼接也无法成功。

$4$）若选择这个木棍来拼接后没有成功，且当前的剩余长度$=$这个木棍的长度，应当直接退出，因为这根木棍显然要自成一个大木棍，而拼下去却失败，说明剩下的小木棍无法拼接成这根木棍。

$5$）若选择这个木棍来拼接后没有成功，且当前的剩余长度$=$我们枚举的长度$len$，应当直接退出，因为这根木棍肯定会需要用上，而这里失败了，说明它最后用不到了。

 #include <bits/stdc++.h>

 using namespace std;

 const int MAXN = , inf = 1e9;

 int st[MAXN], n, s = , len, maxi = -inf, mini = inf;
 bool vis[MAXN];

 void dfs(int cur, int w, int last) {
     if(cur == s / len) {
         cout << len << endl;
         exit();
     }
     if(w == ) {
         dfs(cur + , len, -);
         return;
     }
     if(w < mini) return;
     for(register int i = last + ; i < n; i++)
         if(w - st[i] >=  && !vis[i]) {
             vis[i] = true;
             dfs(cur, w - st[i], i);
             vis[i] = false;
             while(i && st[i] == st[i - ]) i++;
             if(w == st[i] || w == len) return;
         }
 }

 int main() {
     cin >> n;
     for(register int i = ; i < n; i++) {
         cin >> st[i];
         s += st[i];
         maxi = max(maxi, st[i]);
         mini = min(mini, st[i]);
     }
     sort(st, st + n, [](int x, int y){
         return x > y;
     });
     for(register int i = maxi; i <= s; i++)
         if(s % i == ) {
             len = i;
             dfs(, i, -);
         }
     return ;
 }