大致题意:

一条长度为n的项链,由红色珠子和蓝色珠子(分别用1和0表示)组成,在连续的素数子段中,红色珠子的个数不能少于蓝色珠子。问组成这个项链有多少种方案,求方案数模1000000007

分析:

首先我们看看边界情况n=2

01

10

11

有如上3种情况

再观察一下n=3的情况

011

101

111

110

这四个方案中有3种方案(011,101,111)有关联,n=2的情况再加一个1,结尾为1,那么肯定也有为结尾为0的情况。我们继续推测

n=4

0111

1011

1111

1101

0110

1110

前面四个,即n=3时再加一个1,后面两个是在n=1时加上110使结尾为0,但是n=1时0不应该是不满足条件吗。我们仔细看看题目,连续的素数子段,1并不是素数。

综上所述,加1或者加110。a(n)=a(n-1)+a(n-3)

初始状态是a2,不是a1

有了递推式,但是n又很大,所以我们得构造矩阵利用快速幂来求解。我们可以构造如下矩阵

a(n) a(n-1) a(n-2)  = a(n-1) a(n-2) a(n-3)  *  1 1 0

0 0 1

1 0 0

Mat=1 1 0

0 0 1

1 0 0

a(n) a(n-1) a(n-2) = a(4) a(3) a(2) * Mat^(n-4)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std; const int N=3;
typedef long long ll;
const ll Mod=1000000000+7; struct Mat
{
ll mat[N+1][N+1];
};
Mat Multiply(Mat a, Mat b)
{
Mat c;
memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat));
for(int k = 0; k < N; ++k)
for(int i = 0; i < N; ++i)
if(a.mat[i][k])
for(int j = 0; j < N; ++j)
if(b.mat[k][j])
c.mat[i][j] = (c.mat[i][j] +a.mat[i][k] * b.mat[k][j])%Mod;
return c;
} Mat QuickPower(Mat a, ll k)
{
Mat c;
memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
for(int i = 0; i < N; ++i)
c.mat[i][i]=1;
for(; k; k >>= 1)
{
if(k&1) c = Multiply(c,a);
a = Multiply(a,a);
}
return c;
} int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
ll a[]={0,2,3,4,6};
Mat A;
A.mat[0][0]=1,A.mat[0][1]=1,A.mat[0][2]=0;
A.mat[1][0]=0,A.mat[1][1]=0,A.mat[1][2]=1;
A.mat[2][0]=1,A.mat[2][1]=0,A.mat[2][2]=0;
while(T--)
{
ll n;
scanf("%I64d",&n);
if(n<=4)
{
printf("%I64d\n",a[n]);
continue;
}
Mat ans=QuickPower(A,n-4);
printf("%I64d\n",(a[4]*ans.mat[0][0]+a[3]*ans.mat[1][0]+a[2]*ans.mat[2][0])%Mod);
}
return 0;
}

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