「图论」Bron-kerbosch算法

7.21晚上加赛 T2.七负我，做这题找到了性质发现需要求最大团，不会，爆搜，打假了，赛后改，对了，但时间复杂度大爆炸，看下发题解，有这么一句话：于是学习了一下。

Bron-kerbosch算法-求图的最大团,极大团

概念：

• 团：每个顶点都两两相连（又叫完全子图）
• 极大团：没有被包含在其他团中的团
• 最大团：顶点数最多的极大团

算法过程：

过程：

我们维护三个集合 \(R,P,X\)，\(R\) 表示当前正在找的极大团里的点，\(P\) 表示有可能加入当前在找的极大团里的点，\(X\) 表示已经找到的极大团中的点（用来判重），进行以下过程：

1. 初始化 \(R, X\) 为空集，\(P\) 为包含所有点的集合；

2. 将 \(P\) 中顶部元素 \(u\) 点取出，（设 \(Q(u)\) 为所有与 \(u\) 相邻的点）递归集合 \(R ∪{u}，P ∩ {Q(u)}，X ∩ {Q(u)}\)；

   • 在递归的过程中如果集合 \(P 和 X\) 都为空，则集合 \(R\) 中的点构成一个极大团。

3. 将 \(u\) 点从集合 \(P\) 中删去，添加到集合 \(X\) 中；

4. 不断重复 2~3 操作，直至 \(P\) 为空。

只看算法过程可能不好理解，那么下面是伪代码及分析。

伪代码（伪代码出处CSDN已改进）：

void dfs(R, P, X){
	if(P 和 X 均为空) 输出 R 集合为一个极大团
	for 从 P 中选取一个点 a,与 a 相连的点集为 Q(a) {
		dfs(R 并上 a，P 和 Q(a) 的交集，X 和 Q(a) 的交集)
		从 P 中移除 a 点
		把 a 点加入 X 集合
	}
}

分析：

• 算法主要思路：很简单，我们每次枚举合法的点加入极大团中，合法即为保证该点加入团中，该团仍然是团，接着更新合法点集合（即可能属于在找的团的点集 \(P\) ），不断递归直到该团极大即可。

• 我们用 \(P\) 集合维护可能包含于目前所在找的极大团的点集，分析 \(P\) 集合是如何更进的：
  
  \(R\) 是当前在找的极大团，由于 \(R\) 集合是每次任意从 \(P\) 中取一个点，我们知道团的定义为任意两个点都有边相连，所以若我把当前新选择的点 \(a\) 加入团中，那么 \(R\) 加入 \(a\) 之后，要想保证新 \(P\) 集合中的点可能包含于新 \(R\) 中团，那么需要满足 \(P\) 中的点都与 \(R\) 中任意一点相连。我们已经可以保证原 \(R\) （加入 \(a\) 之前）集合里所有点都与原 \(P\) 中的点相连，所以现在只需添加条件使得新 \(P\) 中的点与 \(a\) 点相连，于是 \(P∩{Q(a)}\) 是新 \(P\) 集合。

• 找到一个极大团时需要满足 \(P，X\) 集合都为空：
  
  \(P\) 为空即再没有点可以加到 \(R\) 集合中，保证在找的团极大；\(X\) 为空保证之前没有找过此团，用来判重。

算法实现：

带详细注释code:

注：建议先看本篇博客的算法过程部分以方便看懂代码的注释

int to[N][N], mnt; //to[i][j]用来判断 i 到 j 之间是否连边，mnt为最大团中点的个数
int had[N][N], may[N][N], vis[N][N]; //had,may,vis分别表示 当前在找的团中已有的点、可能加入当前在找的团中的点、已经搜过的点（分别对应算法过程的集合 R,P,X）
//had,may,vis的第一维i都表示处于搜索的第i层，第二维j表示相应的点的个数

//d表示当前搜索处于第几层，R、P、X分别表示had,may,vis在该层搜索中点的个数
void Bron_Kerbosch(int d, int R, int P, int X){
	if(!P and !X){ mnt = max(mnt, R); return;} //找到一个极大团
	for(int i=1; i<=P; i++){
		int u = may[d][i]; //从 P 中取点

		for(int j=1; j<=R; j++){
			had[d+1][j] = had[d][j];
		} had[d+1][R+1] = u; //即 R' = R + {u} 的操作

		int newP = 0, newX = 0;
		for(int j=1; j<=P; j++) // P' = P ∩ Q(u)
			if(to[u][may[d][j]]) may[d+1][++newP] = may[d][j];

		for(int j=1; j<=X; j++) // X' = X ∩ Q(u)
			if(to[u][vis[d][j]]) vis[d+1][++newX] = vis[d][j];

		Bron_Kerbosch(d+1, R+1, newP, newX); //递归搜索

		may[d][i] = 0, vis[d][++X] = u; //将 u 点从 P 中删去，加入 X 中
	}
}

到这里，就已经可以 A 掉那晚加赛的 T2.七负我 了。

AC 代码

#include<bits/stdc++.h>
#define mp make_pair
#define ll long long
using namespace std;

const int N = 50;

int n, m, x, hnt;
int to[N][N];
int had[N][N], may[N][N], vis[N][N];

void Bron_Kerbosch(int d, int R, int P, int X){
	if(!P and !X){ hnt = max(hnt, R); return; }
	for(int i=1; i<=P; i++){
		int u = may[d][i];

		for(int j=1; j<=R; j++){
			had[d+1][j] = had[d][j];
		} had[d+1][R+1] = u;

		int newP = 0, newX = 0;
		for(int j=1; j<=P; j++)
			if(to[u][may[d][j]]) may[d+1][++newP] = may[d][j];

		for(int j=1; j<=X; j++)
			if(to[u][vis[d][j]]) vis[d+1][++newX] = vis[d][j];

		Bron_Kerbosch(d+1, R+1, newP, newX);

		may[d][i] = 0, vis[d][++X] = u;
	}
}

signed main(){
	// freopen("in.in", "r", stdin); freopen("out.out", "w", stdout);

	scanf("%d%d%d", &n, &m, &x);
	for(int i=1; i<=m; i++){
		int a, b; scanf("%d%d", &a, &b);
		to[a][b] = to[b][a] = 1;
	}

	int num = 0;
	for(int i=1; i<=n; i++)
		may[1][++num] = i;

	Bron_Kerbosch(1, 0, num, 0);

	double ans = x * 1.0 / hnt;
	ans *= ans;
	ans *= ((hnt - 1) * hnt / 2);
	printf("%.6lf", ans);

	return 0;
}

但是，这个算法还可以通过设定关键点（pivot vertex）\(v\) 进行优化。主要优化原理见 oi-wiki。

优化代码（纯享版）：

int to[N][N], hnt;
int had[N][N], may[N][N], vis[N][N];

void Bron_kerbosch(int d, int R, int P, int X){
    if(!P and !X) { hnt = max(hnt, R); return;}
    int u = may[d][1];

    for(int i=1; i<=P; i++){
        int v = may[d][i];
        if(to[u][v]) continue;

        for(int j=1; j<=R; j++){
            had[d+1][j] = had[d][j];
        } had[d+1][R+1] = v;

        int newP = 0, newX = 0;
        for(int j=1; j<=P; j++)
            if(to[v][may[d][j]]) may[d+1][++newP] = may[d][j];
        for(int j=1; j<=X; j++)
            if(to[v][vis[d][j]]) vis[d+1][++newX] = vis[d][j];

        Bron_kerbosch(d+1, R+1, newP, newX);

        may[d][i] = 0, vis[d][++X] = v;

    }
}