洛谷 P3636 曲面

题目背景

xht喜欢研究数学函数，他特别喜欢反比例函数。

题目描述

我们知道，反比例函数xy=a的图象是双曲线。

xht于是想：把它推广到三维是什么样的呢？

定义曲面C(k)为方程xyz=k所确定的曲面。

又定义曲面的美观程度P(k)为曲面C(k)上所有整点（x,y,z坐标均为整数）到原点的曼哈顿距离的平方之和。

（点（x,y,z）到原点的曼哈顿距离为|x|+|y|+|z|）。

现在，xht把一些曲面{C(a),C(a+1)...C(b)}排成一列，你要求出它们美观程度之和对10007取模的结果。

输入输出格式

输入格式：

一行两个正整数数a，b

输出格式：

一行一个数

输入输出样例

输入样例#1：

3 3

输出样例#1：

300

输入样例#2：

64 19260817

输出样例#2：

9932

说明

样例1的解释：

在曲面xyz=3上共有12个整点(1,1,3),(1,3,1),(3,1,1),(-1-1,3),(-1,-3,1),(-3,-1,1),(1,-1,-3),(1,-3,-1),(3,-1,-1),(-1,1,-3),(-1,3,-1),(-3,1,-1)。它们到原点的曼哈顿距离的平方之和为5^2*12=300。

对于20%的数据，a=b<=100

对于另外40%的数据，a,b<=3*10^5

对于100%的数据，1<=a,b<=3*10^8

记得是洛谷的某次上古比赛的题，，当时too young too naive的我只骗了60分hhhh，现在一看貌似也不是那么难了。

但这确实是一道好题。

首先可以只求坐标都是正的的和，然后*4,因为三维乘积要是正的话，必须满足坐标是负数的维数是偶数，所以C(3,0)+C(3,2)=4。

设solve(x)=ΣΣΣ(i+j+k)^2   ,其中i*j*k<=x。

那么答案显然就是（solve(b)-solve(a-1)）*4

求solve(x)的时候，我们把括号拆开，转化成 i^2   +    2*i * (j+k)    +    j^2+k^2+2*j*k。 我们固定i的时候左式就可以拆成三部分求。

考虑到x/i一定的时候，j*k的上界是一定的，而x/i的取值不是很多，而且x/i相等的i都是连续的，这就告诉我们可以数列分块。

内层求j和k的相关值时再套一层分块即可。

时间复杂度 O(玄学)

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ha 10007
using namespace std;
struct node{
	int a,b,c;
	//a表示i^2要乘的系数
	//b表示2*i要乘的系数
	//c表示∑j^2+k^2+2*k*j
};
int l,r;

/*
inline int add(int x,int y){
	x+=y;
	while(x>=ha) x-=ha;
	return x;
}
*/

inline int c1(int x){
	//一次前缀和
	return (x*(ll)(x+1)>>1ll)%ha;
}

inline int c2(int x){
	//二次前缀和
	ll now=x*(ll)(x+1)>>1;
	if(!(now%3)) return now/3%ha*(ll)(2*x+1)%ha;
	else return (ll)(2*x+1)/3*(now%ha)%ha;
}

inline node work(int x){
	node an=(node){0,0,0};
	for(int i=1,j;i<=x;i=j+1){
		int now=x/i;
		j=x/now;

		an.a=((ll)an.a+(j-i+1)*(ll)now)%ha;
		an.b=((ll)an.b+(ll)(j-i+1)*(ll)c1(now)+(ll)now*(ll)(c1(j)-c1(i-1)+ha))%ha;
		an.c=((ll)an.c+(ll)(c1(now)*(ll)(c1(j)-c1(i-1)+ha)<<1ll)+(ll)(c2(j)-c2(i-1)+ha)*(ll)now+(ll)c2(now)*(ll)(j-i+1))%ha;
	}

	return an;
}

inline int solve(int x){
	int an=0;

	for(int i=1,j;i<=x;i=j+1){
		int now=x/i;
		j=x/now;

		node w=work(now);
		an=((ll)an+(ll)(j-i+1)*(ll)w.c+(ll)((c1(j)-c1(i-1)+ha)<<1ll)*(ll)w.b+(ll)(c2(j)-c2(i-1)+ha)*(ll)w.a)%ha;
	}

	return an;
}

int main(){
	scanf("%d%d",&l,&r);
	int ans=solve(r)-solve(l-1);
	if(ans<0) ans+=ha;
	ans<<=2;
	while(ans>=ha) ans-=ha;

	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}