【刷题】BZOJ 2734 [HNOI2012]集合选数

Description

《集合论与图论》这门课程有一道作业题，要求同学们求出{1, 2, 3, 4, 5}的所有满足以 下条件的子集：若 x 在该子集中，则 2x 和 3x 不能在该子集中。同学们不喜欢这种具有枚举性 质的题目，于是把它变成了以下问题：对于任意一个正整数 n≤100000，如何求出{1, 2,..., n} 的满足上述约束条件的子集的个数（只需输出对 1,000,000,001 取模的结果），现在这个问题就 交给你了。

Input

只有一行，其中有一个正整数 n，30%的数据满足 n≤20。

Output

仅包含一个正整数，表示{1, 2,..., n}有多少个满足上述约束条件 的子集。

Sample Input

4

Sample Output

8

【样例解释】

有8 个集合满足要求，分别是空集，{1}，{1，4}，{2}，{2，3}，{3}，{3，4}，{4}。

Solution

考虑构造这样一个矩阵

\[\begin{bmatrix}
x & 3x & 9x & 27x & \cdots & \\ \\
2x & 6x & 18x & 54x & \cdots & \\ \\
4x & 12x & 36x & 108x & \cdots & \\ \\
8x & 24x & 72x & 216x & \cdots & \\ \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\\
\end{bmatrix}
\]

那么对于一个数 \(x\) ，与它有冲突关系的数就都选出来了，我们只要在矩阵上选数，并且相邻位置不能选到就可以了

这一步就是个状压dp模板题

对于不在同一矩阵的每一种 \(x\) ，都构造一个矩阵，计算答案。这些矩阵之间互不干扰，所以直接乘起来就好了

#include<bits/stdc++.h>
#define ui unsigned int
#define ll long long
#define db double
#define ld long double
#define ull unsigned long long
const int MAXN=100000+10,Mod=1e9+1;
int n,G[20],cnt,p[MAXN],vis[MAXN];
ll f[20][2000],ans;
template<typename T> inline void read(T &x)
{
	T data=0,w=1;
	char ch=0;
	while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
	if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
	x=data*w;
}
template<typename T> inline void write(T x,char ch='\0')
{
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
	if(ch!='\0')putchar(ch);
}
template<typename T> inline void chkmin(T &x,T y){x=(y<x?y:x);}
template<typename T> inline void chkmax(T &x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
inline ll qexp(ll a,ll b)
{
	ll res=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)res=res*a%Mod;
		a=a*a%Mod;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
inline bool check(int st)
{
	return (st&(st<<1))||(st&(st>>1));
}
inline ll solve(ll x)
{
	memset(G,0,sizeof(G));
	int w=0,h=0;
	while(x*qexp(2,w)<=n)++w;
	while(x*qexp(3,h)<=n)++h;
	for(register int i=1;i<=w;++i)
		for(register int j=1;j<=h;++j)
			if(qexp(2,i-1)*qexp(3,j-1)*x<=n)vis[qexp(2,i-1)*qexp(3,j-1)*x]=1,G[i]|=(1<<h-j);
	cnt=0;
	for(register int st=0;st<(1<<h);++st)
		if(!check(st))p[++cnt]=st;
	memset(f,0,sizeof(f));
	for(register int i=1;i<=w;++i)
		for(register int j=1;j<=cnt;++j)
			if((p[j]|G[i])==G[i])
			{
				if(i==1)f[i][j]++;
				else
					for(register int k=1;k<=cnt;++k)
						if((p[k]|G[i-1])==G[i-1]&&!(p[j]&p[k]))(f[i][j]+=f[i-1][k])%=Mod;
			}
	ll res=0;
	for(register int i=1;i<=cnt;++i)
		if((p[i]|G[w])==G[w])(res+=f[w][i])%=Mod;
	return res;
}
int main()
{
	read(n);ans=1;
	for(register int i=1;i<=n;++i)
		if(!vis[i])ans=1ll*ans*solve(i)%Mod;
	write(ans,'\n');
	return 0;
}