【算法】ST表

想学习一下LCA倍增，先 水一个黄题 学一下ST表

ST表

介绍：

这是一个运用倍增思想，通过动态规划来计算区间最值的算法

算法步骤：

1. 求出区间最值

2. 回答询问

求出区间最值：

用f[i][j]来存储从第 j 个点开始，向后 2 ^ i - 1 个点中的最值(包括本身）

利用二分法的思想，将区间 [ j，j +（2 ^ i）- 1 ] 平均（大概）分成两半

可以算出，区间 [ j，j +（2 ^ i）- 1 ] 的长度为 2 ^ i

所以一半的长度为 2 ^ i - 1

那么分成的两个区间就为 [ j，j +（2 ^（i - 1）- 1 ] 和 [ j +（2 ^ i - 1 ），j +（2 ^ i）- 1 ] 。

毫无疑问，

f[i][j] = max（f[i - 1][j]，f[i - 1][j +（1 << i - 1）]）

这样递推式就出来了

现在来想一下：

f[0][j]就是从 j 开始向后数第 2 ^ 0 - 1 个点的最值，区间为 [ j，j ]

不用考虑，f[0][j]就是第 j 个数本身

好了，现在边界也得出来了，可以开始 dp 了

上代码：

void prew() {
	F1(i, 1, n) f[0][i] = a[i]; // 给边界赋值，a[i] 存的是数列的第 i 个数
	int kf = log2(n); // 得出数列最多可以向后跳几个 2 的幂，n 为数列长度
	F1(i, 1, kf) { // 枚举区间的长度 2 ^ i
	      for (int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= n; j++) // 枚举起点
		      f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j + (1 << i - 1)]); // 递推式
	}
}

回答询问：

由于 log2 运算可能会出现实数，而我们又用整数类型来存储，所以可能会出现两个区间不能完全覆盖整个区间的情况，得出的 f[i][j]不够精准

最简单的方法就是用两个区间覆盖

反正又没要求两个区间不能重叠~~

可以选用f[k][l]和f[k][r-（1<<k）+1]来覆盖f[l][r]

所以f[l][r] = max（f[k][l]，f[k][r -（1 << k）+ 1]）（k 为区间 [l，r] 的长度的 log2）

再上代码：

int ask(int l, int r) {
	int k = log2(r - l + 1); // 求出区间最大的 log2 值
	return max(f[k][l], f[k][r - (1 << k) + 1]); // 返回区间 [l，r] 的最大值
}

完整代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <cmath>
#include <algorithm> // 妈妈再也不怕我的头文件不够使啦~~
#define MAXN 100100
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
#define F1(i, a, b) for (LL i = a; i <= b; ++i) // 懒人必备神器
#define F2(i, a, b) for (LL i = a; i >= b; --i)
using namespace std;

int f[31][MAXN], a[MAXN];
//f[i][j]表示从 j 往后 2 ^ i - 1 个数中的最大值
int n, m;

inline int read() { // 快读
	int sto = 0, fg = 1;
	char ch = getchar();
	while (ch < '0' || ch > '9') {
		if (ch == '-') fg = -1;
		ch = getchar();
	}
	while (ch >= '0' && ch <= '9') {
		sto = (sto << 1) + (sto << 3) + (ch ^ 48);
		ch = getchar();
	}
	return sto * fg;
}

void prew() { // 预处理 dp
	F1(i, 1, n) f[0][i] = a[i];
	int kf = log2(n);
	F1(i, 1, kf) {
		for (int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= n; j++)
			f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j + (1 << i - 1)]);
	}
}

int ask(int l, int r) { // 回答询问
	int k = log2(r - l + 1);
	return max(f[k][l], f[k][r - (1 << k) + 1]);
}

int main()
{
	int l, r, ans;
    n = read(); m = read();
    F1(i, 1, n) a[i] = read();
    prew();
    F1(i, 1, m) {
    	l = read(); r = read();
    	ans = ask(l, r);
    	printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

模板题：

洛谷P3865