题解 洛谷 P4336 【[SHOI2016]黑暗前的幻想乡】

生成树计数的问题用矩阵树定理解决。

考虑如何解决去重的问题，也就是如何保证每个公司都修建一条道路。

用容斥来解决，为方便起见，我处理时先将\(n\)减了1。

设\(f(n)\)为用\(n\)个公司，且不考虑每个公司都修建一条道路的要求，生成树的方案数。

应用容斥公式，那么答案\(ans=\sum\limits_{i=1}^n(-1)^{n-i}f(i)\)

那么我们枚举子集，用矩阵树定理计算求解即可。

实现细节看代码吧。

\(code:\)

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 20
#define maxm 410
#define mod 1000000007
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T> inline void read(T &x)
{
    x=0;char c=getchar();bool flag=false;
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')flag=true;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
    if(flag)x=-x;
}
ll n,all,sum,cnt;
ll a[maxn][maxn];
void add(int x,int y)
{
    a[x][x]++,a[y][y]++;
    a[x][y]--,a[y][x]--;
}
struct edge
{
    int x,y;
};
struct node
{
    ll num;
    edge e[maxm];
}p[maxn];
ll det()
{
    ll ans=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        for(int j=i+1;j<=n;++j)
        {
            while(a[j][i])
            {
                ll d=a[i][i]/a[j][i];
                for(int k=i;k<=n;++k)
                    a[i][k]=((a[i][k]-a[j][k]*d%mod)%mod+mod)%mod;
                swap(a[i],a[j]),ans*=-1;
            }
        }
        ans=ans*a[i][i]%mod;
    }
    return (ans%mod+mod)%mod;
}
int main()
{
    read(n),n--,all=1<<n;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        read(p[i].num);
        for(int j=1;j<=p[i].num;++j)
            read(p[i].e[j].x),read(p[i].e[j].y);
    }
    for(int s=1;s<all;++s)
    {
        cnt=0;
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            if(s&(1<<(i-1)))
            {
                cnt++;
                for(int j=1;j<=p[i].num;++j)
                    add(p[i].e[j].x,p[i].e[j].y);
            }
        }
        sum=((sum+det()*((n-cnt)&1?-1:1))%mod+mod)%mod;
    }
    printf("%lld",sum);
    return 0;
}