正定矩阵（positive definite matrix）

设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有z^TMz> 0，其中z^T 表示z的转置，就称M正定矩阵。

正定矩阵在合同变换下可化为标准型， 即对角矩阵。

所有特征值大于零的对称矩阵也是正定矩阵。

 

判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。

判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。

判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。

 

正定矩阵的性质：

1.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。

2.若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*L′，此分解式称为 正定矩阵的乔列斯基（Cholesky）分解。

3.若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。