设M是n阶方阵,如果对任何非零向量z,都有zTMz> 0,其中zT 表示z的转置,就称M正定矩阵。

正定矩阵在合同变换下可化为标准型, 即对角矩阵。
所有特征值大于零的对称矩阵也是正定矩阵。
 
判定定理1:对称阵A为正定的充分必要条件是:A的特征值全为正。
判定定理2:对称阵A为正定的充分必要条件是:A的各阶顺序主子式都为正。
判定定理3:任意阵A为正定的充分必要条件是:A合同于单位阵。
 
正定矩阵的性质:
1.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
2.若A为n阶对称正定矩阵,则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L,使得A=L*L′,此分解式称为 正定矩阵的乔列斯基(Cholesky)分解。
3.若A为n阶正定矩阵,则A为n阶可逆矩阵。

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