【BZOJ2876】【NOI2012】骑行川藏(数学,二分答案)

题面

BZOJ

题解

我们有一个很有趣的思路。

首先我们给每条边随意的赋一个初值。

当然了,这个初值不会比这条边的风速小。

那么,我们可以先计算一下当前所需要的总能量。

剩下的能量我们分成若干等份。

每次从所有的边中,选择一个加了这一份能量后,时间减少最多的那条边,让他提速。

直到我们所有的能量都分配完,此时答案一定最优。

所以,可以简化一下题意。

在\(\sum ks(v'-v)^2=E_U\)的情况下,最小化\(\sum \frac{s}{v}\)

然后剩下的部分我就去看看学长写的吧(因为我也不懂)

MashiroSky's Blog

主要是不知道为什么梯度向量就平行了

补充一下自己的几点理解:

首先能量和等于\(E_U\)是一个函数,我们可以把它先在空间中表示出来。

然后最小化的值我们也可以看成一个函数,那么我们类似于地理中的等高线,

把所有等值的点的位置一圈一圈的全部向外拓展,当它第一次与能量构成的函数相交时,

并且这个交点一定是切点,此时取到的就是最小值了。

梯度向量由偏向量构成,其中偏向量的每一维分别对应这这个函数在每一维上的导数。

也就是把每一维分别看做主元,其他的都看作常量后求导。

也许梯度向量相等可以看做为在切点处,任何一维的增长量都相等?

假设我们默认梯度向量平行

那么,就有\((v_1,v_2,v_3....,v_n)=\lambda (v'_1,v'_2,...,v'_n)\)

我们可以二分这个\(\lambda\),然后求解出所有的速度。

求解速度的时候等价于解方程\(2\lambda Kv^2(v-v')=-1\)

所有已知量都挪到右边,假设算完后的结果是\(c\)

那么就是\(v^3-v'v^2=c\)

我们找左边的零点,发现显然只有两个零点\(v'\)和\(0\)

并且我们最终的速度一定不会小于\(v'\),解方程的时候我们可以二分,

解的下界是\(max(0,v')\)

差不多就这些了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAX 11111
#define eps 1e-13
int n;
double Eu,S[MAX],K[MAX],V[MAX],v[MAX],ans;
bool check(double lam)
{
double ret=0;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
double l=max(0.0,V[i]),r=1e9,c=-1/(2*lam*K[i]);v[i]=l;
while(l+eps<=r)
{
double mid=(l+r)/2;
if(mid*mid*(mid-V[i])<c)l=mid;
else r=mid;
}
v[i]=l;ret+=K[i]*S[i]*(V[i]-v[i])*(V[i]-v[i]);
}
return ret<=Eu;
}
int main()
{
scanf("%d%lf",&n,&Eu);
for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%lf%lf%lf",&S[i],&K[i],&V[i]);
double l=-1e9,r=0,ret;
while(l+eps<=r)
{
double mid=(l+r)/2;
if(check(mid))l=mid,ret=mid;
else r=mid;
}
check(ret);
for(int i=1;i<=n;++i)ans+=S[i]/v[i];
printf("%.10lf\n",ans);
return 0;
}

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