P2424 约数和 题目背景 Smart最近沉迷于对约数的研究中. 题目描述 对于一个数X,函数f(X)表示X所有约数的和.例如:f(6)=1+2+3+6=12.对于一个X,Smart可以很快的算出f(X).现在的问题是,给定两个正整数X,Y(X<Y),Smart希望尽快地算出f(X)+f(X+1)+--+f(Y)的值,你能帮助Smart算出这个值吗? 输入输出格式 输入格式: 输入文件仅一行,两个正整数X和Y(X<Y),表示需要计算f(X)+f(X+1)+--+f(Y). 输出格式: 输出只…

一.题目 P2424 约数和 二.分析 因为都是加法,那么肯定有的一个性质,即前缀和的思想,就是$$ { ans =\sum_{i=1}^y f(i)} - {\sum_{i=1}^x f(i)}  $$ 基于上面的性质,分析$ \sum_{i=1}^x f(i) $,因为每个数都是因子之和,那么$1 \to n $ 中一共也就 $n$个因子,其实就将问题转化到了求每个因子的贡献上面. 考虑每个因子最终加  $ \lfloor \frac{n}{i} \rfloor $ 次,所以最终$$ { a…

https://www.luogu.org/problemnew/show/P2424 记 \(\sigma(n)\) 为n的所有约数之和,例如 \(\sigma(6)=1+2+3+6=12\) . 求 \(ans(n)=\sum\limits_{i=x}^{y}\sigma(i)\) . 首先,记 \(f(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sigma(i)\) ,则 \(ans(n)=f(y)-f(x-1)\) . 对于 \(f(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}…

嘟嘟嘟 求出[L, R]中每一个数的约数再相加必定会超时,所以换一种思路:枚举约数d. 对于一个约数d,能整除他的数可以写成k * d, (1 <= k <= ⌊n / d⌋),因此约数d对答案的贡献是⌊n / d⌋ * d,f(i)表示[1, i]的约数和,那么f(n) = ∑⌊n / i⌋ * i  (1 <= i <= n).因此x到y的答案等于f(y) - f(x - 1). 然而这样还是会TLE,考虑优化:对于⌊n / i⌋,以12为例打出一个表:12,6,4,3,2,2…

题目背景 Smart最近沉迷于对约数的研究中. 题目描述 对于一个数X,函数f(X)表示X所有约数的和.例如:f(6)=1+2+3+6=12.对于一个X,Smart可以很快的算出f(X).现在的问题是,给定两个正整数X,Y(X<Y),Smart希望尽快地算出f(X)+f(X+1)+……+f(Y)的值,你能帮助Smart算出这个值吗? 输入输出格式 输入格式: 输入文件仅一行,两个正整数X和Y(X<Y),表示需要计算f(X)+f(X+1)+……+f(Y). 输出格式: 输出只有一行,为f(X)+…

题目背景 Smart最近沉迷于对约数的研究中. 题目描述 对于一个数X,函数f(X)表示X所有约数的和.例如:f(6)=1+2+3+6=12.对于一个X,Smart可以很快的算出f(X).现在的问题是,给定两个正整数X,Y(X<Y),Smart希望尽快地算出f(X)+f(X+1)+……+f(Y)的值,你能帮助Smart算出这个值吗? 输入输出格式 输入格式: 输入文件仅一行,两个正整数X和Y(X<Y),表示需要计算f(X)+f(X+1)+……+f(Y). 输出格式: 输出只有一行,为f(X)+…

https://www.luogu.org/problem/show?pid=2424 题目背景 Smart最近沉迷于对约数的研究中. 题目描述 对于一个数X,函数f(X)表示X所有约数的和.例如:f(6)=1+2+3+6=12.对于一个X,Smart可以很快的算出f(X).现在的问题是,给定两个正整数X,Y(X<Y),Smart希望尽快地算出f(X)+f(X+1)+……+f(Y)的值,你能帮助Smart算出这个值吗? 输入输出格式 输入格式: 输入文件仅一行,两个正整数X和Y(X<Y),表示…

题目 约数和 题解 此题可以说完全就是一道数学题,不难看出这道题所求的是 \(\sum\limits_{i=x}^{y}{\sum\limits_{d|i}{d}}\) 的值. 很显然,用暴力枚举肯定会超时.所以我们可以反过来思考,采用枚举约数的方法,对于每个数 \(d\) , \(1\) 到 \(n\) 间满足是\(d\)的倍数的共有\(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor\)个数.我们可以构造一个函数 \[f(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\li…

P2424 约数和 题目背景 Smart最近沉迷于对约数的研究中. 题目描述 对于一个数X,函数f(X)表示X所有约数的和.例如:f(6)=1+2+3+6=12.对于一个X,Smart可以很快的算出f(X).现在的问题是,给定两个正整数X,Y(X<Y),Smart希望尽快地算出f(X)+f(X+1)+……+f(Y)的值,你能帮助Smart算出这个值吗? 输入输出格式 输入格式: 输入文件仅一行,两个正整数X和Y(X<Y),表示需要计算f(X)+f(X+1)+……+f(Y). 输出格式: 输出只…

http://codevs.cn/problem/2606/ https://luogu.lohu.info/problem/show?pid=2424 题目背景 Smart最近沉迷于对约数的研究中. 题目描述 对于一个数X,函数f(X)表示X所有约数的和.例如:f(6)=1+2+3+6=12.对于一个X,Smart可以很快的算出f(X).现在的问题是,给定两个正整数X,Y(X<Y),Smart希望尽快地算出f(X)+f(X+1)+……+f(Y)的值,你能帮助Smart算出这个值吗? 输入输出格…

1968: [Ahoi2005]COMMON 约数研究 Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 64 MBSubmit: 2032  Solved: 1537[Submit][Status][Discuss] Description Input 只有一行一个整数 N(0 < N < 1000000). Output 只有一行输出,为整数M,即f(1)到f(N)的累加和. Sample Input 3 Sample Output 5 HINT   Source Day2…

题意: \(T(1 \le T \le 50000)\)次询问,每次给出\(n, m(1 \le n, m \le 50000)\),求\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} d(ij)\),其中\(d(n)\)表示\(n\)的约数个数 分析 有个结论: $$\sum_{x_1}^{y_1} \sum_{x_2}^{y_2} \cdots \sum_{x_k}^{y_k} d(x_1 x_2 \cdots x_k) = \sum_{x_1}^{y_1} \sum_{x_2…

来自GDOI2007,原题已不可考-- 又自己做出来了好开心,找特殊性是个关键的切入点 原题: 这天周航遇到了靳泽旭. 周航:"我是天才!" 靳泽旭:"你为什么是天才?" 周航:"你随便告诉我一个数字,我立即可以算出它所有约数之和,以及所有约数的倒数和!" 靳泽旭:"换过来,我告诉你一个数的所有约数(包括1和该数本身)的和以及约数的倒数之和,你是天才你应该立即能推出这个数是什么!" 周航被难倒了! 现在,这个难倒了天才的题目就…

题目描述 Description Smart最近沉迷于对约数的研究中. 对于一个数X,函数f(X)表示X所有约数的和.例如:f(6)=1+2+3+6=12.对于一个X,Smart可以很快的算出f(X).现在的问题是,给定两个正整数X,Y(X<Y),Smart希望尽快地算出f(X)+f(X+1)+……+f(Y)的值,你能帮助Smart算出这个值吗? 输入描述 Input Description 输入文件仅一行,两个正整数X和Y(X<Y),表示需要计算f(X)+f(X+1)+……+f(Y). 输出…

题意:求满足条件GCD(N,M) = N XOR M的M的个数 sol:和uva那题挺像的.若gcd(a,b)=a xor b=c,则b=a-c 暴力枚举N的所有约数K,令M=NxorK,再判断gcd(N,M)是不是等于K. 注意枚举约数时传统方法是O(N)的,会完蛋 有个O(sqrt(N))的方法: 注意一个性质:若n%i==0,则有n%(n/i)=0 所以可以这样: for (int i=1;i*i<=N;i++) if (N%i==0) { //i是约数,N/i也是约数 balabalab…

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1492 这里先讲一下约数个数定理: 对于正整数x,将其质因分解为 x = pow(p1, a) * pow*(p2, b) * pow(p3, c) * ... 则其约数个数为:num(x) = (a+1) * (b+1) * (c+1) *... 推导: 由约数定义可知p1^a1的约数有:p1^0, p1^1, p1^2......p1^a1 ,共(a1+1)个;同理p2^a2的约数有(a2+1)个…

题目链接: http://poj.org/problem?id=2480 题目大意:求Σgcd(i,n). 解题思路: 如果i与n互质,gcd(i,n)=1,且总和=欧拉函数phi(n). 如果i与n不互质,那么只要枚举n的全部约数,对于一个约数d,若使gcd(i/d,n/d)互质,这部分的gcd和=d*欧拉函数phi(n/d). 不断暴力从小到大枚举约数,这样就把gcd和切成好多个部分,累加起来就行了. 其实还可以公式化简,不过实在太繁琐了.可以参考金海峰神的解释. 由于要求好多欧拉函数,每次…

题目链接: http://poj.org/problem?id=1845 题目大意:A^B的所有约数和,mod 9901. 解题思路: ①整数唯一分解定理: 一个整数A一定能被分成:A=(P1^K1)*(P2^K2)*(P3^K3).....*(Pn^Kn)的形式.其中Pn为素数. 如2004=(22)*3*167. 那么2004x=(22x)*(3x)*(167x). ②约数和公式 对于一个已经被分解的整数A=(P1^K1)*(P2^K2)*(P3^K3).....*(Pn^Kn), 有约数和…

题目链接: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1452 题目大意:求2004^X所有约数和,结果mod 29. 解题思路: ①整数唯一分解定理: 一个整数A一定能被分成:A=(P1^K1)*(P2^K2)*(P3^K3).....*(Pn^Kn)的形式.其中Pn为素数. 如2004=(22)*3*167. 那么2004x=(22x)*(3x)*(167x). ②约数和公式 对于一个已经被分解的整数A=(P1^K1)*(P2^K2)*(P3^K3)…

Description A number whose only prime factors are 2,3,5 or 7 is called a humble number. The sequence 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 25, 27, ... shows the first 20 humble numbers. Now given a humble number, please write…

Description Input 只有一行一个整数 N(0 < N < 1000000). Output 只有一行输出,为整数M,即f(1)到f(N)的累加和. Sample Input 3 Sample Output 5 HINT   Source Day2 思路:枚举约数即可. #include <iostream> #include <cstdio> using namespace std; int main() { ; scanf("%d"…

题目链接:http://ac.jobdu.com/problem.php?pid=1087 题目描述: 输入n个整数,依次输出每个数的约数的个数 输入: 输入的第一行为N,即数组的个数(N<=1000)接下来的1行包括N个整数,其中每个数的范围为(1<=Num<=1000000000)当N=0时输入结束. 输出: 可能有多组输入数据,对于每组输入数据,输出N行,其中每一行对应上面的一个数的约数的个数. 样例输入: 5 1 3 4 6 12 样例输出: 1 2 3 4 6 这个题目呢,大家…

洛谷1403 约数研究 题目描述 科学家们在Samuel星球上的探险得到了丰富的能源储备,这使得空间站中大型计算机"Samuel2"的长时间运算成为了可能.由于在去年一年的辛苦工作取得了不错的成绩,小联允许用"Samuel2"进行数学研究. 小联最近在研究和约数有关的问题,他统计每个正数N的约数的个数,并以f(N)来表示.现在小联希望用"Samuel2"来统计f(1)到f(N)的累加和M. f(n)表示n的约数个数,现在给出n,要求求出f(1)到…

1406: [AHOI2007]密码箱 Time Limit: 5 Sec  Memory Limit: 64 MBSubmit: 1143  Solved: 677[Submit][Status][Discuss] Description 在一次偶然的情况下,小可可得到了一个密码箱,听说里面藏着一份古代流传下来的藏宝图,只要能破解密码就能打开箱子,而箱子背面刻着的古代图标,就是对密码的提示.经过艰苦的破译,小可可发现,这些图标表示一个数以及这个数与密码的关系.假设这个数是n,密码为x,那么可以…

1968: [Ahoi2005]COMMON 约数研究 Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 64 MB Submit: 1513 Solved: 1154 [Submit][Status][Discuss] Description Input 只有一行一个整数 N(0 < N < 1000000). Output 只有一行输出,为整数M,即f(1)到f(N)的累加和. Sample Input 3 Sample Output 5 HINT Source Day2 奇…

题目描述 Description Smart最近沉迷于对约数的研究中. 对于一个数X,函数f(X)表示X所有约数的和.例如:f(6)=1+2+3+6=12.对于一个X,Smart可以很快的算出f(X).现在的问题是,给定两个正整数X,Y(X<Y),Smart希望尽快地算出f(X)+f(X+1)+……+f(Y)的值,你能帮助Smart算出这个值吗? 输入描述 Input Description 输入文件仅一行,两个正整数X和Y(X<Y),表示需要计算f(X)+f(X+1)+……+f(Y). 输出…

题目链接 题意:输入两个整数L,U(L <= U <= 1000000000, u - l <= 10000),统计区间[L,U]的整数中哪一个的正约数最多,多个输出最小的那个 本来想着用欧拉函数,打个表求所有的约数个数,但是u太大,直接暴力求解 利用唯一分解定理,刷选出根号1000000000的素数,对l,u区间的每一个数进行分解 #include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> #…

A+B Again Accepted : 15   Submit : 243 Time Limit : 1000 MS   Memory Limit : 65536 KB  题目描述 上次趣味赛小明的a+b坑了不少不喜欢思考的同学,小明为了表示歉意, 这次出了道简单的a+b给大家当签到题,希望大家能开心刷题. 那么,题目来了!!! 求使得b/(a+x)为整数的最小正整数x的值. 输入 第一行是一个整数K(K≤10000),表示样例的个数. 以后每行一个样例,为两个正整数a,b(1≤a,b≤108…

The number of divisors(约数) about Humble Numbers Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 2044    Accepted Submission(s): 1006 Problem DescriptionA number whose only prime factors are 2,3,…

Description  设d(x)为x的约数个数,给定N.M,求     Input 输入文件包含多组测试数据. 第一行,一个整数T,表示测试数据的组数. 接下来的T行,每行两个整数N.M.   Output T行,每行一个整数,表示你所求的答案.   Sample Input 2 7 4 5 6 Sample Output 110 121 HINT 1<=N, M<=50000 1<=T<=50000   这篇blog讲得很不错http://blog.codebursts.co…