实数$x,y$满足$x^2+y^2=20,$求$xy+8x+y$的最大值___ 法一:$xy\le\dfrac{1}{4}x^2+y^2,8x\le x^2+16,y\le\dfrac{1}{4}y^2+1,$故$xy+8x+y\le\dfrac{5}{4}(x^2+y^2)+17=42$法二:$(xy+8x+y)^2\le (x^2+8^2+y^2)(y^2+x^2+1^2)=84*21=42^2$法三:记$f(x,y,k)=xy+8x+y-k(x^2+y^2-20)$,令$f^{'}_x=0…

若正实数$x,y$满足$x^3+y^3=(4x-5y)y$ 则 $y$ 的最大值为____ 解答:$x^3+y^3+y^2=4(x-y)y\le x^2$,故$y^3+y^2=x^2-x^3=\dfrac{x(2-2x)x}{2}\le\dfrac{4}{27}$,故由$f(t)=t^3+t^2$的单调性$y\le \dfrac{1}{3}$…

评:这是一道浙江省省赛题,这里利用对称性,设$x\le y\le z$从而解决了问题.值得注意的是此处三元轮换对称正好也是完全对称,但如果变成一般的$n\ge4$元对称问题时,就不能设大小关系.事实上有如下难题: 解答:…

当$x,y\ge0,x+y=2$时求下面式子的最小值:1)$x+\sqrt{x^2-2x+y^2+1}$2)$\dfrac{1}{5}x+\sqrt{x^2-2x+y^2+1}$ 解:1)$P(x,y)$为直线$x+y=2$上一点,点$H$为$P$到$y$轴的投影点, 设$A(1,0)$则$A$关于$x+y=2$的对称点$A'(2,1)$ 故$x+\sqrt{x^2-2x+y^2+1}=|PH|+|PA|= |PH|+|PA'|\ge2$2)$\dfrac{1}{5}x+\sqrt{x^2-2x…

设$a,b,c>0,$满足$a+b+c\le abc$证明:$\dfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+c^2}}\le\dfrac{3}{2}$ 证明:设$a=\dfrac{1}{x},b=\dfrac{1}{y},c=\dfrac{1}{z}$由$a+b+c\le abc$知$xy+yz+zx\le 1$\begin{align}\label{} \sum\dfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}…

评:证明时对求导要求较高,利用这个观点,对平时熟悉的调和平均,几何平均,算术平均,平方平均有了更深 刻的认识.…

差分约束系统 我们先来认识一下差分约束系统鸭! 差分约束系统是一种特殊的\(n\)元一次不等式组,它包含了\(n\)个变量\(x_1-x_n\)以及\(m\)个不等式(约束条件).其中每一个不等式形如\(x_i-x_j\leq c_k\),\(c_k\)是常数,\(i,j \leq n,k \leq m\). 通常来说,题目会给出这一些限制条件的模型或变式,我们需要在满足这个不等式组的前提下求解一些指定的数值. 注意到不等式\(x_i-x_j\leq c_k\)我们可以将其转换为\(x_i\le…

Day 2 rank 11 100+35+30=165 本题是一道数论题,求ax+by=c的正整数对(x,y) x>=0并且y>=0 先说下gcd: 求a,b公约数gcd(a,b) 如gcd(4,6)=  2 辗转相除法 gcd(a,b)=gcd(b,a%b) 证明一下,令a=kb+r,那么r=a%b; 设d为(a,b)的一个任意公约数d,所以d|a且d|b 因为r=a-kb因为d|a且d|b,所以d|r注意到我们的d是任意选取的, 那么最大公约数是属于这个公因数集合里的所以gcd(a,b)=…

元表的作用 元表是用来定义对table或userdata操作方式的表 举个例子 local t1 = {1} local t2 = {2} local t3 = t1 + t2 我们直接对两个table执行+运算,会报错 lua: /usercode/file.lua:3: attempt to perform arithmetic on local 't1' (a table value) 因为程序不知道如何对两个表执行+运行,这时候就需要通过元表来定义如何执行t1的+运算,有点类似于c语言中…

题意翻译 区间取数 题目描述 有n个区间,在区间[ai,bi]中至少取任意互不相同的ci个整数.求在满足n个区间的情况下,至少要取多少个正整数. 输入输出格式 输入格式 多组数据. 第一行的一个整数T表示数据个数.对于每组数据,第一行包含一个整数n(1<=n<=50000)表示区间数.以下n行描述区间.输入的第(i+1)行包含三个整数ai,bi,ci,由空格分开.其中0<=ai<=bi<=50000,1<=ci<=bi-ai+1. 输出格式 对于每组数据,输出一个…