设M是n阶方阵,如果对任何非零向量z,都有zTMz> 0,其中zT 表示z的转置,就称M正定矩阵. 正定矩阵在合同变换下可化为标准型, 即对角矩阵. 所有特征值大于零的对称矩阵也是正定矩阵.   判定定理1:对称阵A为正定的充分必要条件是:A的特征值全为正. 判定定理2:对称阵A为正定的充分必要条件是:A的各阶顺序主子式都为正. 判定定理3:任意阵A为正定的充分必要条件是:A合同于单位阵.   正定矩阵的性质: 1.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵. 2.若A为n阶对称正定矩阵,则存在唯一的主…

1. 基本定义 在线性规划中,一个对称的 n×n 的实值矩阵 M,如果满足对于任意的非零列向量 z,都有 zTMz>0. 更一般地,对于 n×n 的 Hermitian 矩阵(原矩阵=共轭转置,aij=a¯ji,或者 A=AT¯¯¯¯¯),对于任何的非零列向量 z,z⋆Mz>0: 2. 定理和推论 对称阵 A 为正定的充分必要条件是: A 的特征值全为正: A 的各阶主子式都为正: 对称阵 A 为负定的充分必要条件是:奇数阶主子式为负,偶数阶主子式为正: 3. 正定的几何意义 设 f(x,y)…

原文链接 正定矩阵是自共轭矩阵的一种.正定矩阵类似复数中的正实数.定义:对于对称矩阵M,当且仅当存在任意向量x,都有 若上式大于等于零,则称M为半正定矩阵.正定矩阵记为M>0.也被称为正定二次型 正定矩阵的判定 1.所有特征值为正数(根据谱定理,若条件成立,必然可以找到对角矩阵的D和正定矩阵P,使M=P^-1DP):2.所有的顺序主子式为正定:3.Cholesky分解得到的矩阵,其主对角线上的元素全为正数:4.矩阵有半双线性映射形式. 首先解释双线性映射.假设三个向量空间X, Y和Z,有Z =…

https://en.wikipedia.org/wiki/Definite_quadratic_form https://www.math.utah.edu/~zwick/Classes/Fall2012_2270/Lectures/Lecture33_with_Examples.pdf…

    接着LU分解继续往下,就会发展出很多相关但是并不完全一样的矩阵分解,最后对于对称正定矩阵,我们则可以给出非常有用的cholesky分解.这些分解的来源就在于矩阵本身存在的特殊的 结构.对于矩阵A,如果没有任何的特殊结构,那么可以给出A=L*U分解,其中L是下三角矩阵且对角线全部为1,U是上三角矩阵但是对角线的值任意,将U正规化成对角线为1的矩阵,产生分解A = L*D*U, D为对角矩阵.如果A为对称矩阵,那么会产生A=L*D*L分解.如果A为正定对称矩阵,那么就会产生A=G*G,可以这…

1. 线性模型简介 0x1:线性模型的现实意义 在一个理想的连续世界中,任何非线性的东西都可以被线性的东西来拟合(参考Taylor Expansion公式),所以理论上线性模型可以模拟物理世界中的绝大多数现象.而且因为线性模型本质上是均值预测,而大部分事物的变化都只是围绕着均值而波动,即大数定理. 事物发展的混沌的线性过程中中存在着某种必然的联结.事物的起点,过程,高潮,衰退是一个能被推演的过程.但是其中也包含了大量的偶然性因素,很难被准确的预策,只有一个大概的近似范围.但是从另一方面来说,偶然…

作为最早关注人工智能技术的媒体,机器之心在编译国外技术博客.论文.专家观点等内容上已经积累了超过两年多的经验.期间,从无到有,机器之心的编译团队一直在积累专业词汇.虽然有很多的文章因为专业性我们没能尽善尽美的编译为中文呈现给大家,但我们一直在进步.一直在积累.一直在提高自己的专业性.两年来,机器之心编译团队整理过翻译词汇对照表「红宝书」,编辑个人也整理过类似的词典.而我们也从机器之心读者留言中发现,有些人工智能专业词汇没有统一的翻译标准,这可能是因地区.跨专业等等原因造成的.举个例子,DeepM…

一种矩阵运算方法,又叫Cholesky分解.所谓平方根法,就是利用对称正定矩阵的三角分解得到的求解对称正定方程组的一种有效方法.它是把一个对称正定的矩阵表示成一个下三角矩阵L和其转置的乘积的分解.它要求矩阵的所有特征值必须大于零,故分解的下三角矩阵的对角元也是大于零的. https://en.wikipedia.org/wiki/Positive-definite_matrix In linear algebra, a symmetric {\displaystyle n} × {\displa…

降维(Dimensionality Reduction) 动机一:数据压缩(Motivation I : Data Compression) 数据压缩允许我们压缩数据,从而使用较少的计算机内存或磁盘空间,还会加快算法的学习速度. 下面举例说明下降维是什么? 在工业上,往往有成百上千个特征.比如,可能有几个不同的工程团队,一个团队给了你二百个特征,第二个团队给了你另外三百个的特征,第三团队给了你五百个特征,一千多个特征都在一起,那么实际上,如果你想去追踪一下你所知道的那些特征会变得相当困难,而你又…

无预处理共轭梯度 要求解线性方程组 ,稳定双共轭梯度法从初始解 开始按以下步骤迭代: 任意选择向量 使得 ,例如, 对 若 足够精确则退出 预处理共轭梯度 预处理通常被用来加速迭代方法的收敛.要使用预处理子 来求解线性方程组 ,预处理稳定双共轭梯度法从初始解 开始按以下步骤迭代: 任意选择向量 使得 ,例如, 对 若 足够精确则退出 这个形式等价于将无预处理的稳定双共轭梯度法应用于显式预处理后的方程组 , 其中 ,,.换句话说,左预处理和右预处理都可以通过这个形式实施. Mahout 分布式共轭…