lucas是求组合数C(m,n)%p,有一个公式:C(m,n) = C(m/p,n/p)*C(m%p,n%p). (a*b)%c==a%c*b%c,但是(a/b)%c!=a%c/b%c,所以我们要算b在c意义下的乘法逆元. 一个线性求乘法逆元.a[i] = (p - p / i) * a[p % i] % p;或者是费马小定理,i在p下的逆元就是i^(p - 2).然后从后往前推. 两种代码: 第一种: ;i<=n+m;i++) a[i]=(p-p/i)*a[p%i]%p;for(int i=2…

Codeforces Round #258 (Div. 2) Devu and Flowers E. Devu and Flowers time limit per test 4 seconds memory limit per test 256 megabytes input standard input output standard output Devu wants to decorate his garden with flowers. He has purchased n boxes…

题目大概问小于等于m个的物品放到n个地方有几种方法. 即解这个n元一次方程的非负整数解的个数$x_1+x_2+x_3+\dots+x_n=y$,其中0<=y<=m. 这个方程的非负整数解个数是个经典问题,可以+1转化正整数解的个数用插板法解决:$C_{y+n-1}^{n-1}=C_{y+n-1}^y$. 而0<=y<=m,最后的结果就是—— $$\sum_{i=0}^m C_{i+n-1}^i$$ $$C_{n-1}^0+C_{n}^1+C_{n+1}^2+\dots+C_{n-1…

方便复制 快速乘/幂 时间复杂度 \(O(\log n)\). ll nmod; //快速乘 ll qmul(ll a,ll b){ ll l=a*(b>>hb)%nmod*(1ll<<hb)%nmod; ll r=a*(b&((1<<hb)-1))%nmod; return (l+r)%nmod; } //快速幂 ll qpow(ll a,ll b){ ll res=1; while(b){ if(b&1)res=res*a%nmod; a=a*a%n…

Description Input Output Sample Input 2 1 10 13 3 Sample Output 12 Source 看到t很小,想到用容斥原理,推一下发现n种数中选m个方法为C(n+m,m).然后有的超过的就是先减掉b[i]+1,再算.由于n,m较大,p较小,故可用Lucas定理+乘法逆元搞. 把老师给的题解也放在这吧: 首先,看到有限制的只有15个,因此可以考虑使用容斥原理:Ans=全部没有限制的方案-有1个超过限制的方案数+有2个超过限制的方案数-有3个超过限…

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2982 少加了特判n<m return 0就wa了QAQ lucas定理:C(n, m)%p=(C(n%p, m%p)*C(n/p, m/p))%p 等英语好一点去wiki看一下证明吧QAQhttp://en.wikipedia.org/wiki/Lucas%27_theorem 然后这是网上搜到的关于lucas的一些内容 首先给出这个Lucas定理: A.B是非负整数,p是质数.AB写成p进制:A…

题目 "在那山的那边海的那边有一群小肥猪.他们活泼又聪明,他们调皮又灵敏.他们自由自在生活在那绿色的大草坪,他们善良勇敢相互都关心--" --选自猪王国民歌 很久很久以前,在山的那边海的那边的某片风水宝地曾经存在过一个猪王国.猪王国地理位置偏僻,实施的是适应当时社会的自给自足的庄园经济,很少与外界联系,商贸活动就更少了.因此也很少有其他动物知道这样一个王国. 猪王国虽然不大,但是土地肥沃,屋舍俨然.如果一定要拿什么与之相比的话,那就只能是东晋陶渊明笔下的大家想象中的桃花源了.猪王勤政爱…

(From:离殇灬孤狼) 这个Lucas定理是解决组合数的时候用的,当然是比较大的组合数了.比如C(1000000,50000)% mod,这个mod肯定是要取的,要不算出来真的是天文数字了. 对于一个组合数C(n,k),它等于 n! / ( k! * ( n - k)! ) 我们要求一个mod.但是我们知道的同余定理是在 + - * 这三个运算中使用的,对于除法我们不能轻易的使用同余定理.如果我们能把除数(分母)转化为一个乘法就好了,这个时候我们就用到了逆元的知识: 这就开始说逆元了: 定义:…

组合数学推推推最后,推得要求C(n+m,m)%p 其中n,m小于10^9,p小于1^5 用Lucas定理求(Lucas定理求nm较大时的组合数) 因为p数据较小可以直接阶乘打表求逆元 求逆元时,由费马小定理知道p为素数时,a^p-1=1modp可以写成a*a^p-2=1modp 所以a的逆元就是a^p-2, 可以求组合数C(n,m)%p中除法取模,将其转化为乘法取模 即    n!/(m!*(n-m)!)=n!*(m!*(n-m)!)^p-2 求C(n+m,m). n,m<=1000,二维数组递…

/* 古代猪文:Lucas定理+中国剩余定理 999911658=2*3*4679*35617 Lucas定理:(m,n)=(sp,tp)(r,q) %p 中国剩余定理:x=sum{si*Mi*ti}+km 先求出sum{C(d,n)}%p[i]=a[i] */ #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll long long #define mod 999911659 #define maxn 100005 ll m[]={,…

组合数取模就是求的值,根据,和的取值范围不同,采取的方法也不一样. 下面,我们来看常见的两种取值情况(m.n在64位整数型范围内) (1)  , 此时较简单,在O(n2)可承受的情况下组合数的计算可以直接用杨辉三角递推,边做加法边取模. (2) ,   ,并且是素数 本文针对该取值范围较大又不太大的情况(2)进行讨论. 这个问题可以使用Lucas定理,定理描述: 其中 这样将组合数的求解分解为小问题的乘积,下面考虑计算C(ni, mi) %p. 已知C(n, m) mod p = n!/(m!(…

大致意思就是求组合数C(n , m) % p的值, p为一个偶数 可以将组合数的n 和 m都理解为 p 进制的表示 n  = ak*p^k + a(k-1)*p^(k-1) + ... + a1*p + a0 m = bk*p^k + b(k-1)*p^(k-1) + ... + b1*p + b0 然后C(n,m)%p = C(ak , bk) * C(a(k-1) , b(k-1)) * ... * C(a1 , b1) * C(a0 , b0) % p 当然这其中出现 ai < bi的情况…

(1)Lucas定理:p为素数,则有: (2)证明: n=(ak...a2,a1,a0)p = (ak...a2,a1)p*p + a0 =  [n/p]*p+a0,m=[m/p]*p+b0其次,我们知道,对任意质数p有(1+x)^p=1+(x^p)(mod p) .我们只要证明这个式子:C(n,m)=C([n/p],[m/p]) * C(a0,b0)(mod p),那么就可以用归纳法证明整个定理.对于模p而言,我们有下面的式子成立: 上式左右两边的x的某项x^m(m<=n)的系数对模p同余.其…

Lucas定理这里有详细的证明. 其实就是针对n, m很大时,要求组合数C(n, m) % p, 一般来说如果p <= 10^5,那么就能很方便的将n,m转化为10^5以下这样就可以按照乘法逆元的方法求解. 定义: C(n, m) = C(n%p, m%p)*C(n/p, m/p) (mod p) 一种比较好理解的证明方式是这样的, 上面资料中有提到, 由p为质数,(1+x)^p = 1+x^p (mod p) p为质数,然后就是下面这幅图的内容了. 将n, m分别表示成p进制,n = n/p*…

对于很大的组合数不能用C(n, m) = C(n - 1, m) + C(n-1, m -1)来求,这里就用到Lucas定理. 模板题: hdu3037:模板如下: #include <cstdio> using namespace std; ; typedef long long ll; ll F[maxn]; //求1-p所有的阶乘模上p void init(ll p) { F[] = ; ; i <= p; i++) F[i] = F[i - ] * i % p; } //求逆元…

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5226 题意:给一个矩阵a,a[i][j] = C(i,j)(i>=j) or 0(i < j),求(x1,y1),(x2,y2)这个子矩阵里面的所有数的和. 思路:首先可以推导出一个公式C(n,i)+C(n + 1,i)+...+C(m,i) = C(m + 1,i + 1) 知道了这个公式,就可以将子矩阵里每行(或每列)的和值表示成组合数的差值,现在的关键是求出C(n,m)(mod p). 由于…

LL MyPow(LL a, LL b) { LL ret = ; while (b) { ) ret = ret * a % MOD; a = a * a % MOD; b >>= ; } return ret; } LL C(int n, int m) { ) ; LL a = fact[n], b = fact[n - m] * fact[m] % MOD; ) % MOD;//除以一个数,等于乘以这个数的乘法逆元, 然后是在MOD的情况下 } 上面的代码可以计算组合数取模, 能解决的规…

(1)Lucas定理:p为素数,则有: (2)证明: n=(ak...a2,a1,a0)p = (ak...a2,a1)p*p + a0 =  [n/p]*p+a0,m=[m/p]*p+b0其次,我们知道,对任意质数p有(1+x)^p=1+(x^p)(mod p) .我们只要证明这个式子:C(n,m)=C([n/p],[m/p]) * C(a0,b0)(mod p),那么就可以用归纳法证明整个定理.对于模p而言,我们有下面的式子成立: 上式左右两边的x的某项x^m(m<=n)的系数对模p同余.其…

Lucas定理 [原文]2017-02-14 [update]2017-03-28 Lucas定理 计算组合数取模,适用于n很大p较小的时候,可以将计算简化到小于p $ \binom{n}{m} \mod p , p  is  prime$ $ n= n_k * p ^ k + n_{k-1} * p^{k-1}+ ... + n_2 * p^2 + n_1 * p + n_0 $ $ m=m_k * p ^ k +m_{k-1} * p^{k-1}+ ... +m_2 * p^2 +m_1 *…

How Many Sets II Time Limit: 2 Seconds      Memory Limit: 65536 KB Given a set S = {1, 2, ..., n}, number m and p, your job is to count how many set T satisfies the following condition: T is a subset of S |T| = m T does not contain continuous numbers…

(1)Lucas定理:p为素数,则有: (2)证明: n=(ak...a2,a1,a0)p = (ak...a2,a1)p*p + a0 =  [n/p]*p+a0,m=[m/p]*p+b0其次,我们知道,对任意质数p有(1+x)^p=1+(x^p)(mod p) .我们只要证明这个式子:C(n,m)=C([n/p],[m/p]) * C(a0,b0)(mod p),那么就可以用归纳法证明整个定理.对于模p而言,我们有下面的式子成立: 上式左右两边的x的某项x^m(m<=n)的系数对模p同余.其…

Lucas定理 在『组合数学基础』中,我们已经提出了\(Lucas\)定理,并给出了\(Lucas\)定理的证明,本文仅将简单回顾,并给出代码. \(Lucas\)定理:当\(p\)为质数时,\(C_n^m\equiv C_{n\ mod\ p}^{m\ mod\ p}*C_{n/p}^{m/p}(mod\ p)\). 在计算模域组合数时,如果模数较小,那么就可以尝试使用\(Lucas\)定理来递归求解,其时间复杂度为\(O(plog_p\min(n,m))\). \(Code:\) inlin…

2982: combination Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 664  Solved: 397[Submit][Status][Discuss] Description LMZ有n个不同的基友,他每天晚上要选m个进行[河蟹],而且要求每天晚上的选择都不一样.那么LMZ能够持续多少个这样的夜晚呢?当然,LMZ的一年有10007天,所以他想知道答案mod 10007的值.(1<=m<=n<=200,000,000) Inpu…

题目分析: 题解好高深...... 我给一个辣鸡做法算了,题解真的看不懂. 注意到方差恒为$0$,那么其实就是要我们求$\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(i^k-(n-i)^k)^2$. 转换一下 $\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(i^k-(n-i)^k)^2$ $=2\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(i^{2k}-i^k(n-i)^k)$ 注意到$i^{2k}$与$i^k(n-i)^k$在模$m$意义下都是一个周期为$m$的数列,那…

从这里开始 一个有趣的问题 扩展Lucas算法 一个有趣的问题 题目大意 给定$n, m, p$,求$C_{n}^{m}$除以$p$后的余数. Subtask#1  $0\leqslant m\leqslant n \leqslant 2\times 10^{3}$ 直接杨辉恒等式$C_{n}^{m} = C_{n - 1}^{m - 1} + C_{n - 1}^{m}$递推. 时间复杂度$O(n^{2})$. Subtask#2  $0\leqslant m\leqslant n \leqs…

首先说下啥是lucas定理: $\binom n m \equiv \binom {n\%P} {m\%P} \times \binom{n/P}{m/P} \pmod P$ 借助这个定理,求$\binom n m$时,若$P$较小,且$n,m$非常大时,我们就可以用这个定理要降低复杂度. 但是这个定理有一些限制,比如说要求$p$是质数,遇到一些毒瘤出题人不太好应对. 当$P$不是质数时,这时就要用到一个叫做扩展lucas定理的东西. 令$P=\prod p_i^{k_i}$. 我们发现,如果对…

拓展Lucas定理解决大组合数取模并且模数为任意数的情况 大概的思路是把模数用唯一分解定理拆开之后然后去做 然后要解决的一个子问题是求模质数的k次方 将分母部分转化成逆元再去做就好了 这里贴一份别人的板子 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; + ; typedef long long LL; LL Pow(LL n, LL m, LL mod) { LL ans = ; ) { ) ans = (LL)ans * n % mod; n =…

题意:M=p1*p2*...pk:求C(n,m)%M,pi小于10^5,n,m,M都是小于10^18. pi为质数 M不一定是质数 所以只能用Lucas定理求k次 C(n,m)%Pi最后会得到一个同余方程组x≡B[0](mod p[0])x≡B[1](mod p[1])x≡B[2](mod p[2])......解这个同余方程组 用中国剩余定理 Sample Input19 5 23 5 Sample Output6 # include <iostream> # include <cst…

Lucas定理 不会证明... 若\(p\)为质数 则\(C(n, m)\equiv C(n/p, m/p)*C(n\%p, m\%p)(mod\ p)\) 扩展 求 \(C(n,m)\) 模 \(M\) 意义下的值 令 \(M=\prod p_i^{a_i}\) 那么就只要求出模 \(p_i^{a_i}\) 的值,然后 \(CRT\) 合并即可 考虑求 \(C(n, m) \% p_i^{a_i}\) \[C(n,m)=\frac{n!}{m!(n-m)!}\] 首先可以把分子分母中 \(p_…

题集链接: https://cn.vjudge.net/contest/231988 解题之前请先了解组合数取模和Lucas定理 A : FZU-2020  输出组合数C(n, m) mod p (1 <= m <= n <= 10^9, m <= 10^4, m < p < 10^9, p是素数) 由于p较大,不可以打表,直接Lucas求解 #include<iostream> using namespace std; typedef long long…