我们接着上面的欧几里得算法说 扩展欧几里得算法 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x,y,使它们满足贝祖等式\(^①\): ax+by = gcd(a, b) =d(解一定存在,根据数论中的相关定理).扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中. ①:裴蜀定理: 裴蜀定理\((Bezouts identity)\)是代数几何中一个定理,其内容是若设a,b是整数,则存在整数x,y,使得ax+by=gcd(a,b),(a,b)代表最大公因数,则设a,b是不全为零的整数,则存在整数x,y,使…

有这样的问题: 给你两个整数数$(a,b)$,问你整数$x$和$y$分别取多少时,有$ax+by=gcd(x,y)$,其中$gcd(x,y)$表示$x$和$y$的最大公约数. 数据范围$a,b≤10^{18}$. 求解这个问题有一种方法,叫做扩展欧几里得算法(简称扩欧),其本质是一个递归求解的过程. 首先由一个前置的结论是$gcd(x,y)=gcd(y,x\%y)$.此处的$\%$为$c++$中取模操作,下同. 我们不妨设$a>b$ 当$a≠0,b=0$时,则显然有$x=1,y=0$.此时$gc…

欧几里得算法: 1.定义:gcd的意思是最大公约数,通常用扩展欧几里得算法求 原理:gcd(a, b)=gcd(b, a%b) 2.证明: 令d=gcd(a, b)  =>  a=m*d,b=n*d 则m*d=t*n*d+a%b  =>  a%b=d*(m-t*n) gcd(b, a%b)=gcd(n*d, (m-t*n)*d) 令gcd(n, m-t*n)=e  =>  n=x*e,m-t*n=y*e 则m-x*e*n=y*e  =>  m=e*(x*n+y) 由gcd(n, m…

Bryce1010模板 /**** *扩展欧几里得算法 *返回d=gcd(a,b),和对应等式ax+by=d中的x,y */ long long extend_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y) { if(a==0&&b==0)return -1;//无最大公约数 if(b==0){x=1;y=0;return a;} long long d=extend_gcd(b,a%b,y,x); y-=a/b…

浅谈扩展欧几里得(扩展GCD)算法 本篇随笔讲解信息学奥林匹克竞赛中数论部分的扩展欧几里得算法.为了更好的阅读本篇随笔,读者最好拥有不低于初中二年级(这是经过慎重考虑所评定的等级)的数学素养.并且已经学会了学习这个算法的前置知识:欧几里得算法. 对于对欧几里得算法还有知识模糊的读者,请不要担心,这里为你准备了前导知识讲解,请移步至本蒟蒻的另两篇博客: 浅谈GCD 求最大公约数的方式 裴蜀定理 裴蜀定理的概念及证明 因为翻译版本的不同,这个定理可能还会被叫做贝祖定理.\(B\acute{e}zou…

[题目]#6392. 「THUPC2018」密码学第三次小作业 / Rsa [题意]T次询问,给定正整数c1,c2,e1,e2,N,求正整数m满足: \(c_1=m^{e_1} \ \ mod \ \ N\) \(c_2=m^{e_2} \ \ mod \ \ N\) 保证\(c_1,c_2,e_1,e_2 \leq N,2^8 < N < 2^{63},T \leq 10^4,(e_1,e_2)=1,(m,N)=1\). [算法]扩展欧几里得算法 我们最终要求\(m\),而已知\(m^{e_…

BUG 记录:移位运算与扩展欧几里得算法 起因 上个月就开始打算用C++写一个ECC的轮子(为什么?折磨自己呗!),奈何自己水平有点差,拖到现在才算写完底层的大数运算.在实现欧几里得算法的时候,我开始纠结了... 欧几里得算法的两种实现 耳熟能详的实现方案 这个实现只要了解过欧几里得算法的同学都很清楚,我把维基百科上的代码粘贴到这里,最开始我也是按照这样的方式写出来的代码,没过几个测试,bug就出来了. def ext_euclid(a, b): old_s,s=1,0 old_t,t=0,1…

相信大家对欧几里得算法,即辗转相除法不陌生吧. 代码如下: int gcd(int a, int b){ return !b ? gcd(b, a % b) : a; } 而扩展欧几里得算法,顾名思义就是对欧几里得算法的扩展. 切入正题: 首先我们来看一个问题: 求整数x, y使得ax + by = 1, 如果gcd(a, b) != 1, 我们很容易发现原方程是无解的.则方程ax + by = 1有正整数对解(x, y)的必要条件是gcd(a, b) = 1,即a, b 互质. 此时正整数对解…

一.欧几里得算法 名字非常高大上的不一定难,比如欧几里得算法...其实就是求两个正整数a, b的最大公约数(即gcd),亦称辗转相除法 需要先知道一个定理: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b) (其中a mod b != 0)  或  b (其中a mod b == 0) 证明: 后半部分呢...是废话,于是只要证明前半部分即可. 不妨设g = gcd(a, b),于是有 a = g * A, b = g * B 且 (A, B) = 1 故gcd(b, a mod b) =…

先感谢参考文献:http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html 注:以下讨论的数均为整数 一.欧几里得算法(重点是证明,对后续知识有用) 欧几里得算法,也叫辗转相除,简称 gcd,用于计算两个整数的最大公约数 定义 gcd(a,b) 为整数 a 与 b 的最大公约数 引理:gcd(a,b)=gcd(b,a%b) 证明: 设 r=a%b , c=gcd(a,b) 则 a=xc , b=yc , 其中x , y互质…