类似的因为模数比较小的坑还有卢卡斯定理那道,也是有时候逆元会不存在,因为整除了.使用一些其他方法避免通过逆元. https://www.luogu.org/fe/problem/P1593 有坑.一定要好好理解费马小定理等逆元存在的条件.费马小定理求逆元的条件是p是质数且a不为0,扩展欧几里得算法的条件是a,m互质. 那么上面用费马小定理求等比数列的分母的逆元的时候,就没有判断a不为0.而他们也不互质所以也不能使用扩展欧几里得算法. 其实当a为0的时候这个退化为等差数列. #include<bi…

洛谷题目传送门 蒟蒻惊叹于一道小小的数论题竟能涉及这么多知识点!不过,掌握了这些知识点,拿下这道题也并非难事. 题意一行就能写下来: 给定\(N,G\),求\(G^{\sum \limits _{d|N}C(N,d)}(\mod999911659)\) 乍一看,指数这么大,要怎么处理好呢?上费马小定理. 平时用费马小定理求逆元用多了,\(a^{p-2}\equiv inv(a)(\mod p)\),搞得蒟蒻差点忘了它原本的样子\(a^{p-1}=1(\mod p)\),那原式的指数\(\sum…

U5122 T2-power of 2 题目提供者胡昊 题目描述 是一个十分特殊的式子. 例如: n=0时 =2 然而,太大了 所以,我们让对10007 取模 输入输出格式 输入格式: n 输出格式: % 10007 输入输出样例 输入样例#1: 2 输出样例#1: 16 说明 n<=1000000 /* 费马小定理. 2^p-1%p=1(p为质数). so 2^p-1在%p的剩余系下为1. so 在该系下p-1=0. so 2^n=2^(n%(p-1)). */ #include<iostr…

以下弃用 这是一道一样的题(poj1845)的数据 没错,所有宣称直接用逆元/快速幂+费马小定理可做的,都会被hack掉(包括大量题解及AC代码) 什么原因呢?只是因为此题的模数太小了...虽然9901是质数,但是要求逆元的数完全可能是9901的倍数,从而与9901不互质,从而没有逆元 事实上,只要a是质数且a-1是9901的倍数,就可以hack了 如果涉及版权问题,不能用poj讨论版数据,额外提供几组数据: 217823 1 答案1 950497 1 答案1 另外还有一些程序在处理大数相乘取模…

题面 这道题在数学方面没什么难度: 对于每一个正整数n: 质因数分解后可以写成n=a1^k1a2^k2……*ai^ki 所求的数的因数和f(n)就等于f(n)=(1+a1+a1^2+……+a1^k1)(1+a2+a2^2+……+a2^k2)……*(1+ai+ai^2+……+ai^ki) 利用等比数列通项公式可以O(1)的时间算出每一项: 然后可以使用扩展欧几里得,费马小定理或求解逆元. 但,仅仅是这样吗? 注意,模数p是9901,十分的小,但是要求逆元的数完全可能是9901的倍数,从而与9901…

费马小定理 描述 若\(p\)为素数,\(a\in Z\),则有\(a^p\equiv a\pmod p\).如果\(p\nmid a\),则有\(a^{p-1}\equiv 1\pmod p\). 证明 费马小定理的证法有很多,此处介绍3种 证法一 摘自:<初等数论> 冯志刚 著,有改动 此处用归纳法证明. 当\(a=1\)时,原命题显然成立. 设\(a=n\)时命题成立,即\(n^p\equiv n\pmod p\),故\(n^p-n\equiv 0\pmod p\). 考虑二项式系数\(…

Description Consider a positive integer X,and let S be the sum of all positive integer divisors of 2004^X. Your job is to determine S modulo 29 (the rest of the division of S by 29). Take X = 1 for an example. The positive integer divisors of 2004^1…

在p是素数的情况下,对任意整数x都有xp≡x(mod p).这个定理被称作费马小定理其中如果x无法被p整除,我们有xp-1≡1(mod p).利用这条性质,在p是素数的情况下,就很容易求出一个数的逆元.那上面的式子变形之后得到a-1≡ap-2(mod p),因此可以通过快速幂求出逆元. 我们先来证明一下费马小定理: 费马小定理证明: 一.准备知识 引理1:剩余系定理2 若a,b,c为任意3个整数,m为正整数,且(m,c)=1,则当ac≡bc(mod m)时,有a≡b(mod m) 证明:ac≡b…

题目描述 求  $g^{\sum\limits_{k|n}C_{n}^{\frac nk}}\mod 999911659$ 输入 有且仅有一行:两个数N.G,用一个空格分开. 输出 有且仅有一行:一个数,表示答案除以999911659的余数. 样例输入 4 2 样例输出 2048 题解 费马小定理+Lucas定理+中国剩余定理 首先由费马小定理$a^{p-1}\equiv 1\ \ (mod\ p)$,可以将模数转化到答案的指数上,即求$\sum\limits_{k|n}C_{n}^{\frac…

首先假设输入的是n,m 我们就是要求m^(Σ(c(n,i) i|n)) mod p 那么根据费马小定理,上式等于 m^(Σ(c(n,i) i|n) mod  (p-1)) mod p 那么问题的关键就是求 Σ(c(n,i) i|n) mod  (p-1)了 那么如果P是素数的话,我们可以用lucas定理来快速求出来组合数,这道题的p-1是 非素数,那么我们分解质因数pi,假设c(n,i) i|n为X,那我们求出来X mod pi=ai,这个是 符合lucas定理的,那么我们可以得到质因子数个式子…