Burnside引理:对于一个置换\(f\), 若一个着色方案\(s\)经过置换后不变,称\(s\)为\(f\)的不动点.将\(f\)的不动点数目记为\(C(f)\), 则可以证明等价类数目为\(C(f)\) 的平均值. 也就是对于置换群中的某一个置换\(f\),\(C(f)\)为所有着色方案中,那些经过置换\(f\) 可以互相转换(即等价)的着色方案数 因为一个置换可以拆成若干个循环,置换中的每个元素可以看成是一个结点,那么每个节点必有一个出度和入度,所以肯定会形成若干个环,在置换\(f\)…

https://vjudge.net/problem/UVA-10294 题意: 手镯可以翻转,但项链不可以.输入n和t,输出用t种颜色的n颗珠子能制作成的项链和手镯的个数. 思路: 经典等价类计数问题. 对应题目的翻转问题,分奇偶讨论. 奇数时,如题图右,对称轴是一个珠子到圆心的连线,一共n条.选定对称轴后,对称轴上的一个珠子构成一个循环,其他n-1个珠子分别以对称轴对称构成(n-1)/2个循环,所以循环节的个数是 1 + (n – 1) / 2 = (n + 1) / 2 . 偶数时,如题图…

题意 项链和手镯都是由若干珠子串成的环形首饰,区别在于手环可以翻转,但项链不可以. 输入整数 $n$ 和 $t$,输出用 $t$ 中颜色 $n$ 颗珠子能制作成的项链和手镯的个数.($1\leq n \leq 50, 1 \leq t\leq 10$). 分析 这里共有两种置换,即旋转和翻转,项链只有其中一种,而手镯两种都有. 旋转:如果逆时针旋转 $i$ 颗珠子的间距,则 $0,i,2i,...$ 构成一个循环(大于 $n$ 时模 $n$),这个循环有 $n/gcd(i,n)$ 个元素.根据对…

题目来源:UVa 10294 Arif in Dhaka (First Love Part 2) 题意:n颗珠子t种颜色 求有多少种项链和手镯 项链不可以翻转 手镯可以翻转 [分析] 要开始学置换了. 置换是什么呢?  置换的广义概念在不同语境下有不同的形式定义: 在集合论中,一个集合的置换是从该集合映至自身的双射:在有限集的情况,便与上述定义一致. 在组合数学中,置换一词的传统意义是一个有序序列,其中元素不重复,但可能有阙漏.例如1,2,4,3可以称为1,2,3,4,5,6的一个置换,但是其中…

这题和POJ-1286一样 题意: 给出t种颜色的n颗珠子 (每种颜色的珠子个数无限制,但总数必须是n), 求能制作出项链和手镯的个数 注意手镯可以翻转和旋转  而 项练只能旋转 解析: 注意Polya定理: 等价类的个数等于所有的置换f的km(f)的平均数 先考虑旋转,一共有n种情况,旋转1颗珠子构成循环,2颗,3颗·····n颗,那么对于旋转i颗珠子有gcd(i,n)个循环,那么根据Polya定理  置换的不动点的个数为 a = sum(tgcd(i, n)); 为什么又gcd(i, n)个…

题意:给定 n 和 m 表示要制作一个项链和手镯,项链和手镯的区别就是手镯旋转和翻转都是相同的,而项链旋转都是相同的,而翻转是不同的,问你使用 n 个珠子和 m 种颜色可以制作多少种项链和手镯. 析:一个很明显的 Polya 定理,先考虑旋转,如果逆时针旋转 i 个珠子,那么 0 i 2i 3i ... 是一个循环,这样的话就有 gcd(i, n) 个循环. 对于翻转,要考虑是奇偶,如果是奇数,肯定是要过一个珠子的,所以就一共有 n 个相同的,对于每一个会形成 n/2 个长度为 2 个的循环,和…

题目大意: 项链和手镯都是若干珠子穿成的环形首饰,手镯可以旋转和翻转,但项链只能旋转,给n个珠子,t种颜色,求最后能形成的手镯,项链的数量 这里根据等价类计数的polya定理求解 对于一个置换f,若一种方案经过置换后不改变,那么不改变的点的个数记作C(f) 统计所有的C(f) , 相加之后求和除以置换的种数即可 那么这道题里面 对于项链来说,旋转一个角度,也就是2*PI/n , 那么置换群可表示为 1 2 3 4 .... n 2 3 4 5 ... 1 这里就存在一个循环节 所以方案数为 t^…

Arif in Dhaka(First Love Part 2) Input: standard input Output: standard output Time Limit: 2 seconds Our hero Arif is now in Dhaka (Look at problem 10244 – First Love if you want to know more about Arif, but that information is not necessary for this…

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; int gcd(int a,int b) { ? a : gcd(b,a%b); } ; int main() { int t,n; while(scanf("%d%d",&n,&t)!=EOF) { LL pow[maxn]; pow[] = ; ;i<=n;i++) pow[i] = pow[i-] * t; LL…

题意:       给你一串珠子(连接成了一个环),共有n个珠子组成,你有t种颜色,现在你来给这个珠子染色,问染成项链有多少种方法?染成手镯有多少种方法?在项链里,经过顺时针旋转后相同的算一个,在手镯里,经过顺时针旋转或者沿着对称轴兑换后一样的算一个. 思路:       比较典型的等价类计数问题,我们定义两个变量,a是旋转的总个数,b是翻转的总个数,那么根据Burnside和Polya定理,a = C[0] + C[1] + C[2] +..+C[n-1]; C[i]表示的是顺时针移动i个后的…

Burnside定理:若一个着色方案s经过置换f后不变,称s为f的不动点,将置换f的不动点的数目记作C(f).等价类的数目等于所有C(f)的平均值. 一个项链,一个手镯,区别在于一个能翻转一个不能,用t种颜色染n颗珠子,求等价类的个数. 旋转置换群一共有n个置换,分别对应将项链整体逆时针旋转0个.1个.2个...珠子的置换. 对于第i个置换,第0个.i个.2i...个珠子构成一个循环,共有gcd(n, i)个循环,每个循环中有n / gcd(n, i)个珠子. 所以n个置换,每个置换的不动点有t…

Description 现有一颗含\(N\)个珠子的项链,每个珠子有\(t\)种不同的染色.现求在旋转置换下有多少种本质不同的项链,在旋转和翻转置换下有多少种本质不同的项链.\(N < 51,t < 11\) Input The input file contains several lines of input. Each line contains two positive integers \(N (0 < N < 51)\) and \(t (0 < t < 1…

题目链接:http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=35397 [思路] Polya定理. 旋转:循环节为gcd(i,n),i为偏移距离. 翻转:当n为偶数时,对称轴过点时循环节为n/2+1有n/2个,不过点时循环节为n/2有n/2个. 使用polya定理进行计数即可. [代码] #include<cstdio> using namespace std; typedef long long LL; +; LL pow…

https://vjudge.net/problem/UVA-10054 题意:有一种由彩色珠子连接成的项链.每个珠子的两半由不同颜色组成.相邻两个珠子在接触的地方颜色相同.现在有一些零碎的珠子,需要确认它们是否可以复原成完整的项链. 思路: 每种颜色看成一个结点,每个珠子的两半连一条有向边,这样就是欧拉回路的问题了. 最重要的一点,欧拉回路的输出一定逆序输出. #include<iostream> #include<algorithm> #include<string>…

链接:http://uva.onlinejudge.org/external/107/10733.pdf 题意: N 种颜色可以涂成多少种立方体~ 思路: 使正六面体保持不变的运动群总共有: 1.不变置换(1)(2)(3)(4)(5)(6), 共1个; 2.沿对面中心轴旋转 90度, 270度 (1)(2345)(6), (1)(5432)(6) 同类共 6个; 3.沿对面中心轴旋转 180度 (1)(24)(35)(6), 同类共 3个; 4.沿对角线轴旋转 120度, 240度 (152)(…

polya题目:uva 11077 Find the Permutationsuva 10294 Arif in DhakaLA 3641 Leonardo's Notebookuva 11077 Find the PermutationsHOJ 2084 The Colored CubesHOJ 2647 Megaminx POJ 1286 Necklace of BeadsPOJ 2409 Let it BeadTOJ 2795 The Queen's New NecklacesHDU 18…

UVA10294 Arif in Dhaka (群论,Polya定理) 题意 : 给你一个长为\(n\)的项链和手镯,每个珠子有\(m\)种颜色. 两个手镯定义为相同,即它们通过翻转和旋转得到一样的手镯. 两个项链定义为相同,即它们只能通过旋转得到一样的项链. 求出有多少种本质不同的项链和手镯. \((1 \le n \le 50, 1 \le m \le 10)\) 题解 : (参考了一下这篇大佬博客) 大白书上的原题,一个裸的Polya定理(逃 Polya定理 : \[L=\frac{1}{…

给出一个26个大写字母的置换B,是否存在A2 = B 每个置换可以看做若干个循环的乘积.我们可以把这些循环看成中UVa 10294的项链, 循环中的数就相当于项链中的珠子. A2就相当于将项链旋转了两个珠子间的距离,珠子0.2.4...构成一个循环,一共有gcd(n, 2)个循环,每个循环的长度为n / gcd(n, 2) 所以当一个循环的长度为奇数的时候,平方以后还是原来的长度: 当一个循环的长度为偶数的时候,平方以后就会分解为两个长度都等于原来循环长度一半的循环. 先将置换B分解循环,对于其…

题意 PDF 分析 给出一个26个大写字母的置换B,是否存在A^2 = B 每个置换可以看做若干个循环的乘积.我们可以把这些循环看成中UVa 10294的项链, 循环中的数就相当于项链中的珠子. A^2就相当于将项链旋转了两个珠子间的距离,珠子0.2.4...构成一个循环,一共有gcd(n, 2)个循环,每个循环的长度为n / gcd(n, 2) 所以当一个循环的长度为奇数的时候,平方以后还是原来的长度: 当一个循环的长度为偶数的时候,平方以后就会分解为两个长度都等于原来循环长度一半的循环. 先…

暑训第一天,专题为组合数学与概率期望. 最近一个月都没有学习新的知识,上午听聚聚讲课头脑都是一片空白.加上长期没刷题,下午做练习题毫无感觉.到晚上总算理清了蓝书上的一些概念,跟着榜单做题.最后唯独剩下C题令人抓狂,照着蓝书代码敲上去一直WA,直到今天逐行对照网上博客修改才完全弄明白. C题相当于蓝书P146的例题18项链与手镯,即求有m种颜色的n颗珠子组成的手镯的个数,也就是等价类的计数问题,直接使用Polya定理. Input The first line contains a single…

[Uva10294]Arif in Dhaka 标签: 置换 Burnside引理 题目链接 题意 有很多个珠子穿成环形首饰,手镯可以翻转和旋转,项链只能旋转.(翻转过的手镯相同,而项链不同) 有n个珠子,k种颜色,输出不同的项链和手镯的个数. 题解 先考虑旋转的置换: 假如旋转i颗珠子,那么显然产生的循环节个数为gcd(i,n),那么就可以做了. 考虑翻转的置换: 首先可以知道,如果先旋转再翻转,肯定可以找到某一种翻转的置换与之等价. 那么假如珠子的个数为奇数,可以得到(n/2)个长度为2的循…

题意 PDF 分析 用n颗宝石串成项链和手镯, 每颗宝石的颜色可以t种颜色中的一种,当A类项链经过旋转得B类项链时,A和B属于一类项链, 而手镯不仅可以旋转还可以翻转,当A类手镯经过翻转得得到B类手镯时A和B属于一类手镯,问这n颗宝石,t种颜色,可以串成多少种项链和手镯? 解法: 首先将n颗宝石按顺时针方向编号1,2,3,4,5,6......n 旋转,当顺时针旋转i颗宝石时, 可以得到一个置换,且这个置换的个数为 (n*i)/gcd(n,i)/i ;由对称性可知 每个循环的阶均相同,故共有gc…

装备升级功能可以指定升级物品及属性,按指定机率得到结果.需要升级的装备物品必须放在身上.命令格式UPGRADEITEMEX 物品位置(0-12) 属性位置(0-14) 成功机率(0-100) 点数机率(0-255) 是否破碎(0,1) 物品位置:    0  盔甲    1  武器    2  照明物(蜡烛,此物品属性升级无效)    3  项链    4  头盔    5  右手镯    6  左手镯    7  右戒指    8  右戒指    9  无(放护身符位置)    10 腰带 …

传送门 思路 很明显的一个思路:先搞出有多少种珠子,再求有多少种项链. 珠子 考虑这个式子: \[ S3=\sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^a\sum_{k=1}^a [\gcd(i,j,k)==1] \] 显然可以莫比乌斯反演一波,但这个是对的吗? 当有两个数字相同时只被算了3遍,而三个都相同的只被算了一遍. \[ S2=\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^a [\gcd(i,j)==1] \] 显然有\(S1=1\),那么就会得到最终答案: \[ ans=\frac…

洛谷题面传送门 首先很明显题目暗示我们先求出符合条件的戒指数量,再计算出由这些戒指能够构成的项链的个数,因此考虑分别计算它们.首先是计算符合条件的戒指数量,题目中"可以通过旋转重合的戒指视作相同"可以让我们联想到 Polya 定理,具体来说根据 Polya 那套理论,符合条件的戒指个数就是 \(C=\dfrac{1}{m}\sum\limits_{d\mid n}R^d\varphi(\dfrac{n}{d})\),\(\mathcal O(\sqrt{n})\) 地枚举因子并计算 \…

昨天做了道水题,今天这题是比较水的应用. 给出n个项链的珠子,珠子的两端有两种颜色,项链上相邻的珠子要颜色匹配,判断能不能拼凑成一天项链. 是挺水的,但是一开始我把整个项链看成一个点,然后用dfs去找,结果超时了. 后来瞄了一眼题解发现把颜色当成点,一个珠子就是一条路,这样就能得到一个无向图了,然后判断欧拉回路即可. 这题默认是珠子为连通的,所以不需要判断连通性.然后判断节点的度数是否为偶数,也就是是否为欧拉回路,如果是的话用深搜输出珠子的顺序.深搜时输出记得得放在递归之后,用逆序输出,不然会出…

用6种颜色去染正方体的12条棱,但是每种颜色都都限制了使用次数. 要确定正方体的每一条棱,可以先选择6个面之一作为顶面,然后剩下的四个面选一个作为前面,共有24种. 所以正方体的置换群共有24个置换. 具体每种置换的情况就是:UVA 10601 Cubes 幸运的是,任意一个置换中的循环节长度都是相同的(有一种置换除外),所以在计算每个置换的“不动点”的时候就方便了很多. 调了好久调不对样例,后来发现C[0][0]没有初始化为1,=_=|| #include <cstdio> #include…

点我看题目 题意 :给你3个颜色的n个珠子,能组成多少不同形式的项链. 思路 :这个题分类就是polya定理,这个定理看起来真的是很麻烦啊T_T.......看了有个人写的不错: Polya定理: (1)设G是p个对象的一个置换群,用k种颜色突然这p个对象,若一种染色方案在群G的作用下变为另一种方案,则这 两个方案当作是同一种方案,这样的不同染色方案数为: : (2)置换及循环节数的计算方法:对于有n个位置的手镯,有n种旋转置换和n种翻转置换.对于旋转置换: c(fi) = gcd(n,i) …

UVA10294 POLYA定理的基本应用 题意:有n个珠子围成的环,有t种颜色可以染这些珠子:如果这个环可以旋转有几种办法:如果这个环可以旋转,且可以翻转,有几种办法: 参考博客 刘汝佳的分析: 等价类计数问题.一共有两种置换,选择以及翻转.项链只有第一种置换,手镯则有两种置换.设所有珠子按逆时针编号0~n-1. 旋转置换:如果逆时针旋转i颗珠子的间距,则珠子0.i.2i.…构成一个循环.这个循环有n/gcd(i,n)个元素.根据对称性,所有循环的长度相同,因此一共有n/(n/gcd(i,n)…

参考链接: http://www.cnblogs.com/hankers/archive/2012/08/03/2622231.html http://blog.csdn.net/raalghul/article/details/51767941 首先来说说burnside引理是什么. 一天你正在刷题,看到一道关于染色的问题,你认为是一个傻逼题,然后认真一看题目上面写着旋转.翻转后相同的计算一次......你立刻就傻眼了. 接下来是科普时间. 首先我们考虑什么东西叫置换,例如(1,2,3,4,5…