扩展卢卡斯定理(Exlucas)

【学习笔记】扩展卢卡斯定理 exLucas

引子求 \[C_n^m\ \text{mod}\ p \] 不保证 $p$ 是质数. 正文对于传统的 Lucas 定理,必须要求 $p$ 是质数才行.若 $p$ 不一定是质数,则需要扩展 Lucas 定理前置知识扩展欧几里得和中国剩余定理. 算法内容将 $p$ 用唯一分解定理分解,即 \[p=\prod p_i^{c_i} \] 若求出了 \[{n\choose m}\ \text{mod}\ p_i^{c_i} \] 就可以用中国剩余定理合并答案了.那么此时我们要求的…

扩展卢卡斯定理(Exlucas)

题目链接戳我前置知识中国剩余定理(crt)或扩展中国剩余定理(excrt) 乘法逆元组合数的基本运用扩展欧几里得(exgcd) 说实话Lucas真的和这个没有什么太大的关系,但是Lucas还是要学学的:戳我正文题目是要求: \[c_n^m mod \ p\] 如果这个p是质数的话那太简单了,直接Lucas就好了,但问题是现在p不一定是一个质数. 我们令 $P=\prod {p_i}^{c_i}$ 我们如果知道每个$c_n^m mod \ p_i^{c_i}$的值的话就可以根…

【知识总结】扩展卢卡斯定理（exLucas）

扩展卢卡斯定理用于求如下式子(其中$p$不一定是质数): \[C_n^m\ mod\ p\] 我们将这个问题由总体到局部地分为三个层次解决. 层次一:原问题首先对$p$进行质因数分解: \[p=\prod_i p_i^{k_i} \] 显然$p_i^{k_i}$是两两互质的,所以如果分别求出$C_n^m\ mod\ p_i^{k_i}$,就可以构造出若干个形如$C_n^m=a_i\ mod\ p_i^{k_i}$的方程,然后用中国剩余定理即可求解. 层次二:组合数模质数幂…

bzoj2142 礼物——扩展卢卡斯定理

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2142 前几天学了扩展卢卡斯定理,今天来磕模板! 这道题式子挺好推的(连我都自己推出来了) ,总之就是在 n 个里取 w[1] 个,剩下的里面再取 w[2] 个,再在剩下的里面取... 这里的模数 P 一看就不是质数啊!大组合数对合数取模,就要用到扩展卢卡斯定理了: 关于扩展卢卡斯定理,可以看这篇博客:https://blog.csdn.net/clove_unique/article/de…

卢卡斯定理&扩展卢卡斯定理

卢卡斯定理求$C_m^n~mod~p$ 设$m={a_0}^{p_0}+{a_1}^{p_1}+\cdots+{a_k}^{p_k},n={b_0}^{p_0}+{b_1}^{p_1}+\cdots+{b_k}^{p_k}$ 则$C_m^n\equiv\prod{C_{a_i}^{b_i}}(mod~p)$ 扩展卢卡斯定理好像这也不是什么定理,只是一个计算方法计算$C_m^n~mod~p$,其中\(p={p_1}^{q_1}\times{p_2}^{q_2}\times\c…

LG4720 【模板】扩展卢卡斯定理

扩展卢卡斯定理求 $C_n^m \bmod{p}$,其中 $C$ 为组合数. $1≤m≤n≤10^{18},2≤p≤1000000$ ,不保证 $p$ 是质数. Fading的题解设 \[ p=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k} \] 求出 \[ \left\{\begin{align*} C_n^m & \mod & {p_1^{\alpha_1}} \\ C_n^m & \mod & {…

洛谷 P4720 【模板】扩展 / 卢卡斯模板题

扩展卢卡斯定理 : https://www.luogu.org/problemnew/show/P4720 卢卡斯定理:https://www.luogu.org/problemnew/show/P3807 卢卡斯模板 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int N =1e5; ll n, m, p, fac[N]; void init() { int i; fac[] =; ; i…

CRT中国剩余定理 & Lucas卢卡斯定理

数论_CRT(中国剩余定理)& Lucas (卢卡斯定理) 前言又是一脸懵逼的一天. 正文按照道理来说,我们应该先做一个介绍. 中国剩余定理中国剩余定理,Chinese Remainder Theorem,又称孙子定理,给出了一元线性同余方程组的有解判定条件,并用构造法给出了通解的具体形式. 现在有方程组:中国剩余定理指出: 扩展中国剩余定理在一般情况下,要求任两个数互质这个条件太苛刻了,CRT派不上用场,我们需要一个更具普遍性的结论,这就是EX-CRT.虽然是称为EX-CRT,但这个定…

P4720【模板】扩展卢卡斯，P2183 礼物

扩展卢卡斯定理最近光做模板了想了解卢卡斯定理的去这里,那题也有我的题解然而这题和卢卡斯定理并没有太大关系(雾但是,首先要会的是中国剩余定理和exgcd 卢卡斯定理用于求$n,m$大,但模数$p$是质数,且较小的情况但这题$p$并不保证是质数所以,首先可以通过唯一分解定理给$p$分解乘若干质数相乘的形式:$p=\prod p_i^{r_i}$,当然$r$数列是分解后每个质数的指数则我们可以对于每个$p_i^{r_i}$,求出\(\tbinom{n}{m}…

[学习笔记]扩展LUCAS定理

可以先做这个题[SDOI2010]古代猪文此算法和LUCAS定理没有半毛钱关系. [模板]扩展卢卡斯不保证P是质数. $C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$ 麻烦的是分母. 如果互质就有逆元了. 所以可以考虑把分子分母不互质的数单独提出来处理. 然鹅P太一般,直接处理要考虑的东西太多. 我们不妨令$p=p_1^{q_1}*p_2^{q_2}*...*p_k^{q_k}$ 对每一个$p_i^{q_i}$分别求解(不妨叫这个数为$pk$)(这样会容易很多) 即求ai满足:$\fr…

洛谷P2480 [SDOI2010]古代猪文（费马小定理，卢卡斯定理，中国剩余定理，线性筛）

洛谷题目传送门蒟蒻惊叹于一道小小的数论题竟能涉及这么多知识点!不过,掌握了这些知识点,拿下这道题也并非难事. 题意一行就能写下来: 给定$N,G$,求$G^{\sum \limits _{d|N}C(N,d)}(\mod999911659)$ 乍一看,指数这么大,要怎么处理好呢?上费马小定理. 平时用费马小定理求逆元用多了,$a^{p-2}\equiv inv(a)(\mod p)$,搞得蒟蒻差点忘了它原本的样子$a^{p-1}=1(\mod p)$,那原式的指数\(\sum…

【BZOJ4830】[HNOI2017]抛硬币（组合计数，拓展卢卡斯定理）

[BZOJ4830][HNOI2017]抛硬币(组合计数,拓展卢卡斯定理) 题面 BZOJ 洛谷题解暴力是啥? 枚举$A$的次数和$B$的次数,然后直接组合数算就好了:$\displaystyle \sum_{i=0}^a{a\choose i}\sum_{j=0}^{i-1}{b\choose j}$. 完美$TLE$. 先考虑特殊点的情况,如果$a=b$,那么显然两者输赢的情况反过来是一一对应的,所以答案就是总情况减去平局的情况除二,而总方法就是\(\displays…

【BZOJ3129】[SDOI2013]方程（容斥，拓展卢卡斯定理）

[BZOJ3129][SDOI2013]方程(容斥,拓展卢卡斯定理) 题面 BZOJ 洛谷题解因为答案是正整数,所先给每个位置都放一个就行了,然后$A$都要减一. 大于的限制和没有的区别不大,提前给他$A_i$个就好了. 假如没有小于的限制的话,那么就是经典的隔板法直接算答案. 如果提前给完之后,还剩$M$个球,要放进$n$个盒子,答案就是$\displaystyle{M+n-1\choose n-1}$ 然而有一个小于的限制很烦人.发现数量很少,那么直接爆枚子集,强制一…

洛谷P4720 【模板】扩展卢卡斯

P4720 [模板]扩展卢卡斯题目背景这是一道模板题. 题目描述求 C(n,m)%P 其中 C 为组合数. 输入输出格式输入格式: 一行三个整数 n,m,p ,含义由题所述. 输出格式: 一行一个整数,表示答案. 输入输出样例输入样例#1: 5 3 3 输出样例#1: 1 输入样例#2: 666 233 123456 输出样例#2: 61728 说明 1≤m≤n≤1018,2≤p≤1000000 ,不保证 p 是质数. sol:ExLucas模板可以做P不是质数的组合数具体方法简单…

[bzoj2142]礼物(扩展lucas定理+中国剩余定理)

题意:n件礼物,送给m个人,每人的礼物数确定,求方案数. 解题关键:由于模数不是质数,所以由唯一分解定理, $\bmod = p_1^{{k_1}}p_2^{{k_2}}......p_s^{{k_s}}$ 然后,分别求出每个组合数模每个$p_i^{{k_i}}$的值,这里可以用扩展lucas定理求解,(以下其实就是扩展lucas定理的简略证明) 关于$C_n^m\% {p^k}$, $C_n^m = \frac{{n!}}{{m!(n - m)!}}$, 我们以$n=19,p=3,k=2$为…

Lucas定理和扩展Lucas定理

1.Lucas定理首先给出式子:$C_n^m\%p = C_{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}^{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor} * C_{n\%p}^{m\%p}\% p$,其中p为质数. 这里给出证明--证明是我在luogu上看到的lance1ot大佬的证明,个人认为是写的很好的,在此还要做一下补充. 首先,对于质数p,可以保证$C_p^i(1 <= i <= p-1) \equiv 0(mod\ p)$,这个比较显然,因为组合数一定是整…

Ceizenpok’s formula Gym - 100633J 扩展Lucas定理 + 中国剩余定理

http://codeforces.com/gym/100633/problem/J 其实这个解法不难学的,不需要太多的数学.但是证明的话,我可能给不了严格的证明.可以看看这篇文章 http://www.cnblogs.com/jianglangcaijin/p/3446839.html 膜拜 #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cmath> #include…

【luoguP4720】【模板】扩展卢卡斯

快速阶乘与(扩展)卢卡斯定理 $p$为质数时考虑 $n!~mod~p$ 的性质当$n>>p$时,不妨将$n!$中的因子$p$提出来 $n!$ 可以写成 $a*p^e$ , $a$与$p$互质如何求解$a$和$e$? 显然,$e=n/p+n/p^2+n/p^3+--$ 因为$1$~$n$有$n/p$个$p$的倍数,贡献为$1$,$n/p^2$个$p^2$的倍数,贡献为$2$-- 事实上,可以每次先将$1$~…

2019西北工业大学程序设计创新实践基地春季选拔赛 D(卢卡斯定理)

链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/553/D来源:牛客网 Chino with Equation 时间限制:C/C++ 1秒,其他语言2秒空间限制:C/C++ 262144K,其他语言524288K 64bit IO Format: %lld 题目描述 Chino的数学很差,因此Cocoa非常担心.今天,Cocoa要教Chino解不定方程. 众所周知,不定方程的解有0个或者若干个. 给出方程: Cocoa想知道这个不定方程的正整数解和非负整数解各有几…

[洛谷P4720] [模板] 扩展卢卡斯

题目传送门求组合数的时候,如果模数p是质数,可以用卢卡斯定理解决. 但是卢卡斯定理仅仅适用于p是质数的情况. 当p不是质数的时候,我们就需要用扩展卢卡斯求解. 实际上,扩展卢卡斯=快速幂+快速乘+exgcd求逆元+质因数分解+crt合并答案+求阶乘,跟卢卡斯定理没什么关系...... 如果把模数p分解成p1^k1*p2^k2*...*px^kx的形式,那么我们可以求出c(n,m)分别模每个pi^ki的结果,再用中国剩余定理合并即可. 每个pi^ki一定是互质的,所以用朴素crt就行. 根据组合…

数学--数论--HDU 4675 GCD of Sequence(莫比乌斯反演+卢卡斯定理求组合数+乘法逆元+快速幂取模）

先放知识点: 莫比乌斯反演卢卡斯定理求组合数乘法逆元快速幂取模 GCD of Sequence Alice is playing a game with Bob. Alice shows N integers a 1, a 2, -, a N, and M, K. She says each integers 1 ≤ a i ≤ M. And now Alice wants to ask for each d = 1 to M, how many different sequences b…

bzoj 3782 上学路线卢卡斯定理容斥中国剩余定理 dp

LINK:上学路线从(0,0)走到(n,m)每次只能向上或者向右走有K个点不能走求方案数,对P取模. $1\leq N,M\leq 10^10 0\leq T\leq 200$ p=1000003或p=1019663265 考虑dp......(没啥意义. 要求出从(0,0)到(n,m)不经过一个障碍点的方案数显然需要容斥. 所有方案C(n+m,n). 还是考虑dp 将T个障碍点排序之后可以发现后面的点一定不会经过前面的点. 设f[i]表示到达第i个点且不经过前面i-1个点的方案数…

[笔记] 扩展Lucas定理

[笔记] 扩展$Lucas$定理 $Lucas$定理:$\binom{n}{m} \equiv \binom{n/P}{m/P} \binom{n \% P}{m \% P}\pmod{P}$$(P\ is \ prime)$ Theory 那么如果$p$不是一个质数怎么办? 当我们需要计算$C_n^m\mod p$,其中$p = p_1^{q_1}\times p_2^{q_2}\times ...\times p_k^{q_k}$,我们可以求出:\(C_n^m\e…

【BZOJ4403】序列统计（组合数学，卢卡斯定理）

[BZOJ4403]序列统计(组合数学,卢卡斯定理) 题面 Description 给定三个正整数N.L和R,统计长度在1到N之间,元素大小都在L到R之间的单调不降序列的数量.输出答案对10^6+3取模的结果. Input 输入第一行包含一个整数T,表示数据组数. 第2到第T+1行每行包含三个整数N.L和R,N.L和R的意义如题所述. 1≤N,L,R≤10^9,1≤T≤100,输入数据保证L≤R. Output 输出包含T行,每行有一个数字,表示你所求出的答案对10^6+3取模的结果. Samp…

【Luogu3807】【模板】卢卡斯定理（数论）

题目描述给定$n,m,p(1≤n,m,p≤10^5)$ 求 $C_{n+m}^m mod p$ 保证$P$为$prime$ $C$表示组合数. 一个测试点内包含多组数据. 输入输出格式输入格式: 第一行一个整数$T(T≤10)$,表示数据组数第二行开始共$T$行,每行三个数$n m p$,意义如上输出格式: 共$T$行,每行一个整数表示答案. 输入输出样例输入样例#1: 2 1 2 5 2 1 5 输出样例#1: 3 3 题解卢卡斯定理模板题卢卡…

2015 ICL, Finals, Div. 1 Ceizenpok’s formula（组合数取模，扩展lucas定理）

J. Ceizenpok’s formula time limit per test 2 seconds memory limit per test 256 megabytes input standard input output standard output Dr. Ceizenp'ok from planet i1c5l became famous across the whole Universe thanks to his recent discovery — the Ceizenp…