POJ 2409 Let it Bead 这题就是polya公式的直接套用,唯一麻烦的是置换群的种类数,由于可以翻转,所以除了要加上pow(c,gcd(s,i))这些平面旋转的置换群,还要加上翻转的.由于翻转的情况奇偶是不同的,所以需要分开讨论:偶数:pow(c,(s-2)/2+2)*(s/2)+pow(c,(s/2))*(s/2);(里面包含了两个对点和两个对边的旋转) 奇数:pow(c,(s-1)/2+1)*s;(一个点和对边的旋转) #include<iostream> #include…

先定义几个含义和符号:起始状态/方法/位置/元素/:以染色为例,起始状态是所有的染色方案,方法是以起始状态所有染色方案为基准转变为新的染色情景的操作(如旋转),位置则必须是没有任何染色效果的抽象空间,元素则是各种颜色循环: 在方法作用下,元素在位置上形成一个首尾相接的环(且定义这些位置是等价的)迹: 在方法作用下,循环所遍及到的所有位置的集合等价关系:一个置换集合G,如果一个置换方法能把其中一个方案映射到另一个方案,则二者是等价的等价类: 满足等价关系的方案属于同一等价类,如:这里有6个等价类…

以前只是直接用了这两个式子..今天才仔细看了证明..[网上的真是难懂啊 我看的几个博客地址(各有优缺): 其实如果能懂的话 只看博客B就可以了 首先是一些置换群方面的定义和性质  博客A:http://blog.csdn.net/xym_CSDN/article/details/53456447 然后是burnside的证明                  博客B:http://blog.csdn.net/gengmingrui/article/details/50564027 还有两个定理的…

这里就算是一个小总结吧- 附参考的网址: http://blog.sina.com.cn/s/blog_6a46cc3f0100s2qf.html http://www.cnblogs.com/hankers/archive/2012/08/03/2622231.html 首先 Burnside引理: Burnside引理:即互异状态个数等于各种转换下的等价类个数的和除以转换个数. 说人话: 按照这种 转法 转完了还是一样的个数除以转法数 举例:2*2的正方形 2种颜色染色 求不同的方案数 转法…

这里就算是一个小总结吧- 附参考的网址: http://blog.sina.com.cn/s/blog_6a46cc3f0100s2qf.html http://www.cnblogs.com/hankers/archive/2012/08/03/2622231.html 首先 Burnside引理: Burnside引理:即互异状态个数等于各种转换下的等价类个数的和除以转换个数. 说人话: 按照这种 转法 转完了还是一样的个数除以转法数 举例:2*2的正方形 2种颜色染色 求不同的方案数 转法…

传送门:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1004 一道好题,但并不是好在融合了三个“考点”(计数,背包dp,逆元),其实背包dp以及求逆元都是小事,重点在于如何计数. 输入数据给出的m种置换是无法构成一个置换群的,因为一个群的定义需要4个性质,即封闭性,结合律,单位元,逆元,根据题目的说法,已经符合了封闭性.结合律.逆元,但是没有单位元,所以需要先添加一个新的置换,对于每个i,a[i] = i.这个置换即为单位元,这样子就构成了置换…

提示: 本文并非严谨的数学分析,有很多地方是自己瞎口胡的,仅供参考.有错误请不吝指出 :p 1. 群 1.1 群的概念 群 \((S,\circ)\) 是一个元素集合 \(S\) 和一种二元运算 $ \circ $ 的合称,其满足以下性质. 封闭性 对于 \(\forall a,b \in S\) , \(\exist c \in S\) 使得 \(c = a \circ b\) 结合律 对于 \(\forall a,b,c \in S\) , \(a \circ (b \circ c) = (…

Burnside/Polya+背包DP 这道题目是等价类计数裸题吧……>_> 题解:http://m.blog.csdn.net/blog/njlcazl_11109/8316340 啊其实重点还是:找出每个置换下的不动点数目 这道题比较特殊,牌的数量是限定的,所以只能DP来搞……(dp[R][G][B]表示的是R张红牌,G张绿牌,B张蓝牌在当前这个置换下,有多少种方案是会置换回自身的) 恒等置换单独处理一下即可(其实就是总染色数,多重集排列数吧……$\frac{N!}{R!G!B!}$) 最…

从联赛活了下来(虽然分数倒一……),接下来要去CDQZ集训啦…… DAY -2 2017-12-16 被老师安排负责一部分同学的住宿以及安排…… 抓紧时间继续学习,LCT真好玩啊真好玩…… 晚上放假了…… DAY -1 2017-12-17 放假进行中……下午转场到了石家庄. 与srs,wzz,wxh几个dalao住在一个宾馆,晚上出去吃饭…… DAY 0 2017-12-18 4:30早起……到机场. 似乎没有想象中的麻烦…… 很顺利的登机,起飞的时候气压的确有一些奇怪的问题……耳朵有点难受…

转c++时间: 2017年8月9号 1.记得打头文件 2.=与==的区别(赋值|比较) 3.各种运算符的比较级(与Pascal不同),主要是==与位运算 *4.在OJ上scanf和printf时间优于cin.cout,但是在c++上差不多 5.用define定义max和min会更快 这样写: #define min(x,y) (x<y?x:y) #define max(x,y) (x>y?x:y) 其实用define定义大多数东西都要更快(比如lowbit) 如图 *6.c++一般爆变量范围和…

参考链接: http://www.cnblogs.com/hankers/archive/2012/08/03/2622231.html http://blog.csdn.net/raalghul/article/details/51767941 首先来说说burnside引理是什么. 一天你正在刷题,看到一道关于染色的问题,你认为是一个傻逼题,然后认真一看题目上面写着旋转.翻转后相同的计算一次......你立刻就傻眼了. 接下来是科普时间. 首先我们考虑什么东西叫置换,例如(1,2,3,4,5…

最近,研究了两天的Burnside引理和Polya定理之间的联系,百思不得其解,然后直到遇到下面的问题: 对颜色限制的染色 例:对正五边形的三个顶点着红色,对其余的两个顶点着蓝色,问有多少种非等价的着色? 其中置换的方法有旋转 \(0^{\circ}, 72^{\circ}, 144^{\circ}, 216^{\circ}, 288^{\circ}\), 穿过一个点做对称轴进行翻转. Burnside引理的证明 那么,在解决这个问题之间,我们首先要定义和证明一些东西: 在集合\(X\)的置换群…

感觉这两个东西好鬼畜= = ,考场上出了肯定不会qwq.不过还是学一下吧用来装逼也是极好的 群的定义 与下文知识无关.. 给出一个集合$G = \{a, b, c, \dots \}$和集合上的二元运算"$*$",并满足 (1).封闭性:$\forall a, b \in G, \exists c \in G, a * b = c$ (2).结合律:$\forall a, b, c \in G, (a * b) * c = a * (b * c)$ (3).单位元:$\exists e…

原文链接www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Burnside-Polya.html 问题模型 有一个长度为 $n$ 的序列,序列中的每一个元素有 $m$ 种取值. 如果两个序列循环同构,那么我们称这两个序列等价. 求两两不等价的序列个数. Burnside引理 假设有若干个置换 $P_1,P_2,\cdots$ ,设由这些置换生成的置换群为 $Q$ .如果序列 A 可以通过一个 $Q$ 中的置换变成序列 B,那么我们认为 A 和 B 等价. 对于一个置换 $P$ ,如果…

参考:刘汝佳<算法竞赛入门经典训练指南> 感觉是非常远古的东西了,几乎从来没有看到过需要用这个的题,还是学一发以防翻车. 置换:排列的一一映射.置换乘法相当于函数复合.满足结合律,不满足交换律. 置换的循环分解:即将置换看成一张有向图,分解成若干循环.循环的数量称为循环节. 以置换集合来描述等价关系.如果存在一个置换将一个方案映射到另一个方案,则这两个方案等价.置换集合应当构成置换群. 不动点:方案s经过置换f不变,则s为f的不动点. Burnside引理:等价类数量=所有置换的不动点数量的平…

定义简化版: 置换,就是一个1~n的排列,是一个1~n排列对1~n的映射 置换群,所有的置换的集合. 经常会遇到求本质不同的构造,如旋转不同构,翻转交换不同构等. 不动点:一个置换中,置换后和置换前没有区别的排列 Burnside引理:本质不同的方案数=每个置换下不动点的个数÷置换总数(一个平均值) Polya定理:一个置换下不动点的个数=颜色^环个数.(辅助Burnside引理,防止枚举不动点复杂度过高) 这篇文章写得很详细了(具体的在此不说了): Burnside引理与Polya定理 **特…

burnside引理&polya定理 参考资料: <polya计数法的应用>--陈瑜希 黄学长 置换: 置换即是将n个元素的染色进行交换,产生一个新的染色方案. 群: 一个元素的集合G与一个二元运算(*)构成一个群.群满足以下性质: 封闭性:\(\forall a,b \in G,\exists c\in G ,c=a*b\) 结合律:\(\forall a,b,c,(a*b)*c=a*(b*c)\) 单位元:\(\exists e\in G,\forall a,a*e=e*a=a\)…

零.约定: (置换等名词会在前置知识中有解释) \(1.\)在本文中,题目要求的染色方案等统称为"元素". \(2.\)两个元素严格相等我们记做"\(=\)",两个元素等价(按题目所给的置换可以互相得到)我们记做"\(\Leftrightarrow\)". \(3.\)元素\(a\)进行置换\(g\)我们记做\(a\otimes g\). \(4.\)置换之间的乘积记做\(\odot\),\(g_i=g_j\odot g_k\),当且仅当\(\f…

转载自:https://blog.csdn.net/whereisherofrom/article/details/79631703 Burnside引理 笔者第一次看到Burnside引理那个公式的时候一头雾水,找了本组合数学的书一看,全是概念.后来慢慢从Polya定理开始,做了一些题总算理解了.本文将从最简单的例子出发,解释Burnside引理和Polya定理.然后提供一些自己做过的和上述定理相关的题目和解题报告. Burnside引理是为了解决m种颜色给n个对象染色的计数问题. [例题1]…

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1004 学习了下polya计数和burnside引理,最好的资料就是:<Pólya 计数法的应用> --陈瑜希 burnside: $$等价类的个数=\frac{1}{|G|}\sum_{i=1}^{s}D(a_i), a_i \in G$$其中$D(a_i)=a_i置换中染色后不变的方案$ 而polya: $$D(a_i)=k^{C(a_i)},其中C(a_i)是a_i的循环节个数$$证明很简单…

题目来源:UVa 10294 Arif in Dhaka (First Love Part 2) 题意:n颗珠子t种颜色 求有多少种项链和手镯 项链不可以翻转 手镯可以翻转 [分析] 要开始学置换了. 置换是什么呢?  置换的广义概念在不同语境下有不同的形式定义: 在集合论中,一个集合的置换是从该集合映至自身的双射:在有限集的情况,便与上述定义一致. 在组合数学中,置换一词的传统意义是一个有序序列,其中元素不重复,但可能有阙漏.例如1,2,4,3可以称为1,2,3,4,5,6的一个置换,但是其中…

也许更好的阅读体验 \(\mathcal{Description}\) 大意:给一条长度为\(n\)的项链,有\(m\)种颜色,另有\(k\)条限制,每条限制为不允许\(x,y\)颜色连在一起.要求有多少种本质不同的染色方式,本质不同的两种染色方式必须旋转不能互相得到. 输入方式: 第一行 \(t,\)表示t组数据 接下来\(t\)组数据: 每组数据第一行为\(n,m,k\) 接下来\(k\)行,每行两个数\(x,y\)表示不允许\(x,y\)颜色连在一起. 答案对9973取模 \((1 ≤ n…

也许更好的阅读体验 \(Burnside引理\) 公式 \(\begin{aligned}L=\frac{1}{|G|}\sum_{i=1}^{|G|}D_{G_i}\end{aligned}\) 一些定义 \(E_i\) 表示与\(i\)同类的方案 \(Z_i\) 表示使\(i\)不变的置换 \(G\) 表示所有的置换方法 \(D_i\) 表示第\(i\)种置换能使多少方案不变 \(n\) 表示方案总数 \(L\) 表示本质不同的方案数 引理的引理 \(|E_i|*|Z_i|=|G|\) \(…

置换群 设\(N\)表示组合方案集合.如用两种颜色染四个格子,则\(N=\{\{0,0,0,0\},\{0,0,0,1\},\{0,0,1,0\},...,\{1,1,1,1\}\}\),\(|N|=2^4\). 对于\(N\)上的所有置换,它们组成的群称为置换群,记为\(G\).\(G\)中任意两个置换的积仍在\(G\)中. Burnside引理 又称轨道计数定理.Burnside计数定理.Cauchy-Frobenius定理.Pólya-Burnside引理. 定理描述为:\(等价类数量=\…

Different Circle Permutation Time Limit: 3000/1500 MS (Java/Others)    Memory Limit: 262144/262144 K (Java/Others)Total Submission(s): 208    Accepted Submission(s): 101 Problem Description You may not know this but it's a fact that Xinghai Square is…

polya题目:uva 11077 Find the Permutationsuva 10294 Arif in DhakaLA 3641 Leonardo's Notebookuva 11077 Find the PermutationsHOJ 2084 The Colored CubesHOJ 2647 Megaminx POJ 1286 Necklace of BeadsPOJ 2409 Let it BeadTOJ 2795 The Queen's New NecklacesHDU 18…

两种置换 旋转:有n种,分别是旋转1个2个--n个,旋转i的循环节数位gcd(i,n) 翻转:分奇偶,对于奇数个,只有一个珠子对一条边的中点,循环节数为n/2+1:对于偶数个,有珠子对珠子和边对边,循环节个数为n/2+1个和n/2个 然后用polya定理即可 #include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; long long n,k,ans; long long ksm(long long a,long long b…

和poj 2409差不多,就是k变成3了,详见 还有不一样的地方是记得特判n==0的情况不然会RE #include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; long long n,ans; long long ksm(long long a,long long b) { long long r=1; while(b) { if(b&1) r=r*a; a=a*a; b>>=1; } return r; }…

转自:http://endlesscount.blog.163.com/blog/static/82119787201221324524202/ Polya定理 首先记Sn为有前n个正整数组成的集合,G为Sn的置换群,C为Sn的着色集.那么我们等于是要求C中有多少种着色方案是不等价的.定义两种着色等价的概念:如果对于在C中的两种着色c1.c2,存在置换f使得f*c1=c2,那么c1和c2就是等价的.要想求不等价着色的个数,我们要先证明一个定理,即:         Burnside定理:设G(c…

对Polya定理的个人认识     我们先来看一道经典题目:     He's Circles(SGU 294)         有一个长度为N的环,上面写着“X”和“E”,问本质不同的环有多少个(不能旋转重复就称之为本质不同) 输入样例:4 输出样例:6 那么要怎么办呢?暴力显然暴不出来…… 我们可以考虑使用置换群. 我们有两种算法: ①Burnside引理: 答案直接为1/|G|*(D(a1)+D(a2)+D(a3)+……+D(as)) 其中D(ak)为在进行置换群置换操作ak下不变的元素的…