传送门 题目大意 一棵$n$个点的树,一个点集$S$的权值定义为把这个点击连成一个联通块的最少边数,求: $$ans=\sum_{S\in U}f(S)^k$$ 题解 这题跟gdoi那道题差不多 先把柿子化一下变成 $$ans=\sum_{i=0}^k \begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix} i! \sum_{S\in U}\begin{pmatrix}f(S)\\i\end{pmatrix}$$ 然后我们就相当于去统计大小为$i$的边集的贡献 这个可以通过dp来实现…

传送门 看到\(k\)次幂求和先用斯特林数拆幂:\(x^k = \sum\limits_{i=1}^k \binom{x}{i}\left\{ \begin{array}{cccc} k \\ i \end{array} \right\}i!\). 那么原式等于\(\sum\limits_{X} \sum\limits_{i=1}^k \binom{f(X)}{i}\left\{ \begin{array}{cccc} k \\ i \end{array} \right\}i! = \sum\l…

洛谷 Codeforces 这题真是妙的很. 通过看题解,终于知道了\(\sum_n f(n)^k​\)这种东西怎么算. update:经过思考,我对这题有了更深的理解,现将更新内容放在原题解下方. 思路 发现\(\sum_S (f(S))^k\)这东西因为有个\(k\)次方,所以特别难算,考虑拆开: \[ x^k=\sum_{i=0}^k {x \choose i} \times i! \times S(k,i) \] 其中\(S(n,m)\)是第二类斯特林数,即\(n\)个元素放进\(m​\…

题目链接 一道好题. 题意:给定一棵\(n\)个点的树,求: \[\sum_{S\subseteq \{1,2,\dots,n\}}f(S)^k\] 其中\(f(S)\)代表用树边将点集\(S\)连通需要的最少边数.\(n\leq10^5\),\(k\leq 200\),对\(10^9+7\)取模. 吐槽:比赛的时候看到这道题想到的是组合数做法,然而是\(O(nk^2)\)的,但可以用任意模数\(\text{NTT}\)优化到\(O(nk\log k)\),当然由于常数巨大结果可想而知.可以说是…

传送门 分析 https://blog.csdn.net/forever_shi/article/details/88048528 代码 #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<string> #include<algorithm> #include<cctype> #include<cmath> #include<cstdlib&…

题目简述:给定$n \leq 10^5$个节点的树$T = (V, E)$,令$X \subseteq V$表示一个非空节点集合,定义$f(X)$为包含$X$的最小子树的边数.求 $$ \sum_{\emptyset \neq X \subseteq V} (f(X))^k, $$ 其中$k \leq 200$. 解:code 问题转化 我们额外定义$f(\emptyset) = 0$,就不需再单独考虑空集. 利用斯特林数的性质,我们有 $$ x^n = \sum_{k=0}^n k! \beg…

Codeforces 题目传送门 & 洛谷题目传送门 首先看到这题我的第一反应是:这题跟这题长得好像,不管三七二十一先把 \(k\) 次方展开成斯特林数的形式,\(f(X)^k=\sum\limits_{i=0}^k\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}\dbinom{f(X)}{i}\),于是我们只需对所有 \(i\in[0,k]\) 求出 \(\sum\dbinom{f(X)}{i}\) 即可. 然后就不会做了/dk/wq 考虑 \(\dbinom{f(X)}{i}…

目录 Codeforces 1097 D.Makoto and a Blackboard(DP 期望) E.Egor and an RPG game(思路 LIS Dilworth定理) F.Alex and a TV Show(bitset) G.Vladislav and a Great Legend(斯特林数 树形DP) H. Codeforces 1097 比赛链接 咕咕了一个月...终于闲的没事想起补了... ABC代码没在本地(而且懒),就不放了... (然而当时C题FST了真是想.…

基本定义 第一类斯特林数:$1 \dots n$的排列中恰好有$k$个环的个数:或是,$n$元置换可分解为$k$个独立的轮换的个数.记作 $$ \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}. $$ 第二类斯特林数:将$n$个元素分成$k$个非空集合的方案数.记作 $$ \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix}. $$ 根据定义,我们有 $$ \sum_{k=0}^n \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix…

动态规划 \(dp\)早就已经是经常用到的算法了,于是老师上课主要都在讲题.今天讲的主要是三类\(dp\):树形\(dp\),计数\(dp\),\(dp\)套\(dp\).其中计数\(dp\)是我很不熟的,\(dp\)套\(dp\)是我没接触过,树形\(dp\)难的题我也不是很会做,所以感觉还是收获了不少,于是\(dp\)的总结将主要会以题解的形式呈现. 重要例题及简要题解 \(Gcd\ counting\):设\(f_{u,v}\)代表以\(u\)为根的子树中,点权都能被\(v\)整除的最长链…