problem loj-3144 题意概要:设函数 \(f(t)\) 的返回值为一个二元组,即 \(f(t)=((t+\lfloor \frac tB\rfloor)\bmod A, t\bmod B)\),现在给出 \(n\) 个区间,问 \(t\) 在这 \(n\) 个区间中取值时,有多少个不同的 \(f(t)\). \(n\leq 10^6,\ l_i,r_i,A,B\leq 10^{18}\),区间互不相交 Solution 一开始没啥想法,\(loj\) 的题面上写了 \(l_i\le…

[LOJ#3144][APIO2019]奇怪装置(数论) 题面 LOJ 题解 突然发现\(LOJ\)上有\(APIO\)的题啦,赶快来做一做. 这题是窝考场上切了的题嗷.写完暴力之后再推了推就推出正解了... 考虑\(t1,t2\)两个时刻,如果两个时刻的\((x,y)\)相等的话,考虑是一种什么样的情况. \[\begin{cases} t_1+[\frac{t_1}{B}]\equiv t_2+[\frac{t_2}{B}](\mod A)\\ t_1\equiv t_2(\mod B) \…

[LG5444][APIO2019]奇怪装置 题面 洛谷 题目大意: 给定\(A,B\),对于\(\forall t\in \mathbb N\),有二元组\((x,y)=((t+\lfloor\frac tB\rfloor)\bmod A,t\bmod B)\). 对于给定的\(n\)个区间\([l,r]\),要你求出\(t\in [l_1,r_1]\bigcup [l_2,r_2]...\bigcup [l_n,r_n]\)对应有多少个不同的二元组. 数据范围: \(1\leq n\leq…

题目 这种题目看上去就是有循环节的对吧. 在考场上,一个可行的方式是打表. 现在我们手推一下这个循环节. 记函数\(f(t)=(((t+\lfloor\frac tB\rfloor)\%A),(t\%B))\),那么\(f(t_1)=f(t_2)\)的充要条件为: \[ t_1+\lfloor\frac {t_1}B\rfloor\equiv t_2+\lfloor\frac {t_2}B\rfloor(mod\ A) \] \[ t_1\equiv t_2(mod\ B) \] 看到第二个很熟…

$solution:$ 问题其实就是求两个式子的循环节. 钦定 $t\mod B=0$且 $(t\neq 0)$,其 $t$ 为循环节. 则将 $1$ 式拆开得 $\frac{t\times (B+1)}{B}\mod A=0$. $\frac{t\times (B+1)}{B}\equiv 0\space(\mod A)$ $\frac{t}{B}\equiv 0\space (\mod \frac{A}{gcd(A,B+1)})$ $t\equiv 0\space (\mod \frac{A…

传送门 考虑求出最小的循环节 $G$ 使得 $t,t+G$ 得到的数对是一样的 由 $y \equiv t \mod B$ ,得到 $G$ 一定是 $B$ 的倍数,设 $zB=G$,则 $t,t+zB$ 结果相同 代入 $x \equiv (t+\left \lfloor \frac{t}{B} \right \rfloor) \mod A$ 得到 $(t+zB+\left \lfloor \frac{t+zB}{B} \right \rfloor) \equiv (t+\left \lfloo…

正解:数论 解题报告: 传送门$QwQ$ 我好像当初考的时候这题爆零了,,,部分分都没想到,,,我真的好菜$kk$ 考虑如果在$t_1,t_2$两个时刻有$x_1=x_2,y_1=y_2$是什么情况$QwQ$? 那就有$\begin{cases}t_1+[\frac{t_1}{B}]\equiv t_2+[\frac{t_2}{B}](\mod A)\\t_1\equiv t_2(\mod B)\end{cases}$. 不妨设$t_2=t_1+B\cdot t$,代入得$t_1+[\frac{…

#3144. 「APIO 2019」奇怪装置 题目描述 考古学家发现古代文明留下了一种奇怪的装置.该装置包含两个屏幕,分别显示两个整数 \(x\) 和 \(y\). 经过研究,科学家对该装置得出了一个结论:该装置是一个特殊的时钟,它从过去的某个时间点开始测量经过的时刻数 \(t\),但该装置的创造者却将 \(t\) 用奇怪的方式显示出来.若从该装置开始测量到现在所经过的时刻数为 \(t\),装置会显示两个整数:\(x = ((t + \lfloor \frac{t}{B} \rfloor) \b…

[APIO 2010] [LOJ 3144] 奇怪装置 (数学) 题面 略 分析 考虑t1,t2时刻坐标相同的条件 \[\begin{cases} t_1+\lfloor \frac{t_1}{B} \rfloor \equiv t_2+\lfloor \frac{t_2}{B} \rfloor (\mathrm{mod}\ A) \\ t_1 \equiv t_2 (\mathrm{mod}\ B)\\ \end{cases}\] 由第二个式子,可以令\(t_1=t_2+Bk(k \in N)…

考古学家发现古代文明留下了一种奇怪的装置.该装置包含两个屏幕,分别显示两个整数x和y.经过研究,科学家对该装置得出了一个结论:该装置是一个特殊的时钟,它从过去的某个时间点开始测量经过的时刻数t,但该装置的创造者却将t用奇怪的方式显示出来.若从该装置开始测量到现在所经过的时刻数为t,装置会显示两个整数:\(x=((t+\lfloor\frac{t}{B}\rfloor)\mod A)\),与\(y=(t\mod B)\).这里⌊x⌋是下取整函数,表示小于或等于x的最大整数.考古学家通过进一步研究还…

2558. [NOIP2016]换教室 [题目描述] 对于刚上大学的牛牛来说,他面临的第一个问题是如何根据实际情况申请合适的课程. 在可以选择的课程中,有2n节课程安排在n个时间段上.在第i(1<i<n)个时间段上,两节内容相同的课程同时在不同的地点进行,其中,牛牛预先被安排在教室ci上课,而另一节课程在教室di进行. 在不提交任何申请的情况下,学生们需要按时间段的顺序依次完成所有的n节安排好的课程.如果学生想更换第i节课程的教室,则需要提出申请.若申请通过,学生就可以在第i个时间段去教室di…

problem \(\mathtt {loj-3146}\) 题意概要:一条直线上有 \(n+1\) 个点和 \(n\) 条道路,每条道路连通相邻两个点.在 \(q\) 个时刻内,每个时刻有如下两种操作之一: 切换某条道路的状态,即:若原来是连通的,则现在断开:若原来断开,则现在连通 给出 \(x,y\),询问在这次询问之前,有多少个时刻满足 \(a\rightarrow b\) 的道路连通(即这一段的道路都连通) \(n,q\leq 3\times 10^5\),时限 \(5s\) Solut…

problem \(\mathrm {loj-3145}\) 题意概要:给定一张 \(n\) 点 \(m\) 边的无向图,边有边权,共 \(q\) 次操作,每次会将第 \(x\) 条边的权值改为 \(y\),或询问从 \(x\) 开始只走大于等于 \(y\) 的边能到达多少点. \(n\leq 5\times 10^4,\ m,q\leq 10^5\) Solution 这道题和 \(HNOI2016\) 最小公因数 长得很像,想到分块就会了.由于这题有修改,对询问的权值分块不好做,就只能对操作…

题意: 定义将一个\(t\)如下转换成一个二元组: \[ f(t) = \begin{cases} x = (t + \left\lfloor \frac{t}{B} \right \rfloor) \bmod A\\ y = t \bmod b \end{cases} \] 询问\([l_i, r_i]\)之间的\(t_i\)能够转换成多少个本质不同的二元组. 思路: 考虑\((x_1, y_1)\)和\((x_2, y_2)\)相同的时候: \[ \begin{cases} t_1 + \l…

题目 考虑推柿子 最开始的想法是如果两个\(t\)在\(mod\ B\)意义下相等,那么只需要比较一下\((t+\left \lfloor \frac{t}{B}\rfloor \right)mod\ A\)就好了 显然\(t=t\% B+B\times \lfloor \frac{t}{B} \rfloor\) 于是第一维就是$t%B+(B+1)\times \lfloor \frac{t}{B} \rfloor $ 也就是说如果\(t\%B\)的是相等的,那么只要\((B+1)\times…

考场上我坚持认为这是个组合数题... 看到\(k\leq8\)我想状压来着,但是不知道怎么压 实际上,对于点i和点j的连边(\(j\in[i-k, i-1]\))只有连或不连两种状态 而如果i与比j编号小的点连边的情况已经考虑完了,方案数就可以连带下来,如此就可以建立转移 令\(dp[i][j][s][l]\)为在点i,连了j条边,点i-k到点i之间的点已连边数的奇偶性压成s,此时从前向后连带到第\(i-k+l\)个点 i与每个点都是连或不连两种状态,则正序枚举l,使\(dp[i][j][s][…

APIO2019 题解 T1 奇怪装置 题目传送门 https://loj.ac/problem/3144 题解 很容易发现,这个东西一定会形成一个环.我们只需要求出环的长度就解决了一切问题. 设环的长度为 \(l\).那么从 \((0, 0)\) 出发,走 \(l\) 步一定可以再次回到 \((0, 0)\). 也就是说 \[ \left\{ \begin{align*} & A \mid l + \lfloor \frac lB \rfloor\\ & B \mid l \end{al…

Luogu P5444 [APIO2019]奇怪装置 看到这种题,我们肯定会想到\((x,y)\)一定有循环 我们要找到循环节的长度 推一下发现\(x\)的循环节长为\(\frac{AB}{B+1}\).等一下,\(t\)是整数,所以循环节长为\(\frac{AB}{GCD(A,B+1)}\) \(y\)的循环节长为\(B\) 所以\((x,y)\)的循环节长为\(lcm(\frac{AB}{GCD(A,B+1)},B)=\frac{AB}{GCD(A,B+1)}\) 对每个时间段对循环节长取模…

T1.桥梁(bridges/restriction) Subtask1:暴力,$O(n^2)$. #include<cstdio> #include<algorithm> #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++) #define For(i,x) for (int i=h[x],k; i; i=nxt[i]) using namespace std; ; ],nxt[N<<],val[N<<]; v…

「APIO 2019」奇怪装置 题目描述 有无限个二元组,每个二元组为\(((t+\left\lfloor\frac{t}{B} \right\rfloor)\%A,t \% B)\),给出一些区间,问他们之中有多少本质不同的二元组. 题解 考虑朴素做法,区间求并AC 考虑如果每个二元组为\((t\%A,t \% B)\)的话,那么它显然是有一个\(\frac{A*B}{(A,B)}\)的循环节的. 然后我们考虑所有在\(\%B\)意义下同余的所有数\(\%A\)意义下的结果. 他们形成了一个每…

APIO2010 APIO2010T1 特别行动队 记 \(dp[i]\) 表示划分前 \(i\) 个时的答案,则有 \(dp[i] = max\{ dp[j] + a(sum[i]-sum[j])^2+b(sum[i]-sum[j])+c\ | 0\le j< i\}\) 若 \(p<q\) ,且满足 \(2a\times sum[i]\times (sum[q]-sum[p])<=(a\times sum[q]^2-b\times sum[q]+dp[q])-(a\times sum…

三校联考 Day3 大水题 题目描述:给出一个圆及圆上的若干个点,问两个点间的最远距离. solution 按极角排序,按顺序枚举,显然距离最远的点是单调的,线性时间可解出答案. 大包子的束缚 题目描述:给出一个圆以及直角坐标系上的若干个点,选择其中的一些点,使得两两相连的线段所在的直线与圆无交,求最多可以选多少个点. solution 这题的题解有点奇怪,总的来说就是--我还不知道怎么做-- 毛毛虫图 题目描述:定义毛毛虫图为一个无向无环图,且满足图中存在一条路径,使得每个点到这条路径的距离都…

[BZOJ 4031][LOJ 2122][HEOI 2015] 小Z的房间 题意 给定一个 \(n\times m\) 的矩阵, 一些格子是障碍, 相邻的格子(四联通)之间可以连边, 求把非障碍的格子连成一棵树的方案数量 \(\bmod 10^9\) 的值. \(n,m\le 9\). 题解 一些奇怪的东西 做题过程: 这个数据范围怎么这么像大力状压啊 怎么还要联通性啊不会是插头DP吧 woc连成树? 矩阵树定理sb题? 码码码... 哦淦这个模数怎么没逆元啊QAQ 正经内容 其实就是个矩阵树…

[BZOJ4523][Cqoi2016]路由表 Description 路由表查找是路由器在转发IP报文时的重要环节.通常路由表中的表项由目的地址.掩码.下一跳(Next Hop)地址和其他辅助信息组成.例如: 当路由器收到一个IP报文时,会将报文中的目的IP地址与路由表中的表项逐条进行比较,选择匹配且最明确的表项,将报文转发给该表项中指定的下一跳. 匹配的过程是将报文中的目的地址和表项中的目的地址分别转为二进制串,再查看表项中的掩码长度,若掩码长度为x,则将两个二进制串的前x位进行比较,如果相…

Description 给定序列 A, 求出 A 中本质不同的子序列 (包含空的子序列) 个数模 10^9+ 7 的结果. 一个序列 B 是 A 的子序列需要满足 A 删掉某些元素后能够得到 B. 两个子序列中对应位置的数都相同我们就认为这两个子序列本质相同 Input 第一行包含一个整数 N , 代表序列的长度. 接下来一行 N 个整数, 第 i 个数代表 Ai. Output 输出一个整数代表答案. Sample Input 5 2 3 1 3 2 Sample Output 27 Hint…

[题目描述] 给定n,使得x^x达到或超过n位数字的最小正整数x是多少? [样例输入] 11 [样例输出] 10 [解题思路] 首先想到枚举,但是范围有点大,n<=2*10^9,果断用二分.其实这道题并不难,要用到一个求位数的公式trunc(t*(ln(t)/ln(10)))+1,初三自然是没学的,直接抄上公式,AC……,二分的时候注意一下退出的条件.(wikioi上1696和3538的题目不一样,但同一个程序都能AC,也不知道1696中的k是干嘛的……) [代码实现] var n:qword;…

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3195 Description 小宇从历史书上了解到一个古老的文明.这个文明在各个方面高度发达,交通方面也不例外.考古学家已经知道,这个文明在全盛时期有n座城市,编号为1..n.m条道路连接在这些城市之间,每条道路将两个城市连接起来,使得两地的居民可以方便地来往.一对城市之间可能存在多条道路. 据史料记载,这个文明的交通网络满足两个奇怪的特征.首先,这个文明崇拜数字K,所以对于任何一条道路,设它连接…

题目传送门:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5302 对于一个物品,设它体积为v,那么,在背包参数为p的情况下,它能达到gcd(v,p)的倍数的重量 对于两个物品,设它们的体积为v1和v2,那么,在背包参数为p的情况下,他能达到gcd(v1,v2,p)的倍数的重量 对于每个物品,我们记下它的gcd(v,p),问题变为给定一个x,求有多少个v的集合,是集合内所有元素的gcd能被x整除 我们设dp[i][j]表示p的前i个约数有多少种…

题解 题目 做这题之前,做了一道叫星际战争的题,很容易想到二分 \(+\) 网络流,那么二分啥呢? 我们先推一下式子,因为是对相邻格子加数,那么可以联想到黑白染色类问题. 设有黑色格子 \(B\) 个,其格子中初始数的和为 \(b\),白色格子同理,个数为 \(W\) 个,初始权值和为 \(w\) 个,最后变成的同一个数为 \(num\). 可以得出 \(B×num-b=W×num-w\) 化简得 \(num=\frac{b-w}{B-W}\). 首先对于化简式,其必要条件是 \(B\neq W…

[问题描述] 假定海岸线是一条无限延伸的直线,陆地在海岸线的一边,大海在另一侧.海中有许多岛屿,每一个小岛我们可以认为是一个点.现在要在海岸线上安装雷达,雷达的覆盖范围是d,也就是说大海中一个小岛能被安装的雷达覆盖,那么它们之间的距离最大为d. 我们使用平面直角坐标系,定义海岸线是x轴,大海在x轴上方,陆地在下方.给你海中每一个岛屿的坐标位置(x,y)和要安装的雷达所覆盖的范围d,你的任务是写一个程序计算出至少安装多少个雷达能将所有的岛屿覆盖. (POJ输入中将有多组数据,每组数据间有一行空着,…