https://codeforces.com/contest/1114/problem/F 欧拉函数 + 区间更新线段树 题意 对一个序列(n<=4e5,a[i]<=300)两种操作: 1. 将a[l,r]的数字乘以x(x<=300) 2. 求\(\varphi(\prod_{i=l}^ra[i])\)对1e9+7取模 题解 欧拉函数性质 假如\(p\)是一个质数,\(\varphi(p)=p-1\),\(\varphi(p^k)=p^{k-1}*(p-1)=p^k*\frac{p-1}…

题目链接 传送门 题面 思路 设\(x=\prod\limits_{i=l}^{r}a_i\)=\(\prod\limits_{i=1}^{n}p_i^{c_i}\) 由欧拉函数是积性函数得: \[ \begin{aligned} \phi(x)&=\phi(\prod\limits_{i=1}^{n}p_i^{c_i})&\\ &=\prod\limits_{i=1}^{n}\phi(p_i^{c_i})&\\ &=\prod\limits_{i=1}^{n}p_…

2818: Gcd Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 4436  Solved: 1957[Submit][Status][Discuss] Description 给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对. 1<=N<=10^7 uva上做过gcd(x,y)=1的题 gcd(x,y)=p ---> gcd(x/p,y/p)=1 每个质数做一遍行了 答案是欧拉函数的前缀和*2…

题目:http://cogs.pw/cogs/problem/problem.php?pid=2533 这道题考察打表观察规律. 发现对f的定义实际是递归式的 f(n,k) = f(0,f(n-1,k)) f(0,k) = balabalabalabala 所以,实际上的f(n,k)是这么个东西 f(0,(0,(0,(0,(0,(0,(0,(0,k)))))))) 直接递归求解并打出表来,我们可以发现这样的事实 f(0,k) = k+1 所以有f(n,k) = n + k + 1; 所以题目就转…

欧拉函数的作用: 有[1,2.....n]这样一个集合,f(n)=这个集合中与n互质的元素的个数.欧拉函数描述了一些列与这个f(n)有关的一些性质,如下: 1.令p为一个素数,n = p ^ k,则   f(n) = p ^ k - p ^ (k-1) 2.令m,n互质,则   f(m*n) = f(m) * f(n) 3.如果n为奇数,则    f(2 * n) = f(n) 下面给出一个例题的代码,例题链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=…

题意:给出N,求所有满足i<j<=N的gcd(i,j)之和 这题去年做过一次... 设f(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+......+gcd(n-1,n),那么answer=S[N]=f(1)+f(2)+...+f(N). 先求出每一个f(n). 令g(n,i)=[满足gcd(x,n)=i且x<N的x的数量],i是n的约数 那么f(n)=sigma[i*g(n,i)] (i即gcd的值,g(n,i)为数量) 又注意到gcd(x,n)=i -> gcd(x/i,n/i)=…

大白书P125 #include <iostream> #include <cstring> using namespace std; #define MMX 4000010 #define LL long long int phi[MMX],f[MMX]; LL S[MMX]; void calc_phi(int n) //求1--n的欧拉函数,phi[i]=φ(i) { ;i<=n;i++) phi[i]=; phi[]=; ;i<=n;i++) if (!phi[…

GCD Time Limit: 6000/3000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 4272    Accepted Submission(s): 1492 Problem Description Given 5 integers: a, b, c, d, k, you're to find x in a...b, y in c...d that GCD(x, y)…

cojs 2181. 打表 ★☆   输入文件:sendtable.in   输出文件:sendtable.out   简单对比时间限制:1 s   内存限制:256 MB [题目描述] 有一道比赛题目,输入两个整数x,y(1≤x,y≤n),输出某个函数f(x,y).有位选手想打表(即事先计算出所有的f(x,y),写在源代码里),但是表太大了,原代码超过了比赛的限制,需要精简. 好在那道题目有一个性质,使得很容易根据f(x,y)算出f(x*k,y*k)(其中k是正整数),这样有一些f(x,y)就…

欧拉函数:一般记作φ(n),表示1-n中与n互质的数的数量. 欧拉函数是积性函数,即φ(m*n)=φ(m)*φ(n) //这条定理基友面试时还遇到了= = 欧拉函数的值φ(n)=n*(1-p[1])*(1-p[2])*...*(1-p[n]) //p[i]是小于等于n的所有素数 若n是m的倍数,则小于等于n且与m互质的数的个数为(n/m)*φ(m) //证明不难理解:设k小于等于m且与m互质,则k+m.k+2m......也与m互质 若n是质数p的k次幂,则φ(n)=(p-1)*(p^(k-1)…

M斐波那契数列 Time Limit: 3000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65535/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 3024    Accepted Submission(s): 930 Problem Description M斐波那契数列F[n]是一种整数数列,它的定义如下:F[0] = aF[1] = bF[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )现在给出a, b…

题意:求∑gcd(i,n),1<=i<=n思路:f(n)=∑gcd(i,n),1<=i<=n可以知道,其实f(n)=sum(p*φ(n/p)),其中p是n的因子.为什么呢?原因如下:1到n中有m个数字和n拥有公共的最大因子p,那么就需要把m*p加入答案中.问题是如何计算m的个数.因为假设某个数i与n的最大公约数为p,那么gcd(i,n) = p,可以得到gcd(i/p,n/p)=1.也就是说,有多少个i,就有多少个i/p与n/p互质.那么显然m即为n/p的欧拉函数φ(n/p). 知…

GTW likes function      Memory Limit: 131072/131072 K (Java/Others) 问题描述 现在给出下列两个定义: f(x)=f_{0}(x)=\sum_{k=0}^{x}(-1)^{k}2^{2x-2k}C_{2x-k+1}^{k},f_{n}(x)=f(f_{n-1}(x))(n\geq 1)f(x)=f​0​​(x)=∑​k=0​x​​(−1)​k​​2​2x−2k​​C​2x−k+1​k​​,f​n​​(x)=f(f​n−1​​(x)…

题目:给出n,求gcd(1,2)+gcd(1,3)+gcd(2,3)+gcd(1,4)+gcd(2,4)+gcd(3,4)+...+gcd(1,n)+gcd(2,n)+...+gcd(n-1,n) 此题和UVA 11426 一样,不过n的范围只有20000,但是最多有20000组数据. 当初我直接照搬UVA11426,结果超时,因为没有预处理所有的结果(那题n最多4000005,但最多只有100组数据),该题数据太多了额... 思路:令sum(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+...+g…

题意: 求sum{gcd(i, j) | 1 ≤ i < j ≤ n} 分析: 有这样一个很有用的结论:gcd(x, n) = i的充要条件是gcd(x/i, n/i) = 1,因此满足条件的x有phi(n/i)个,其中Phi为欧拉函数. 所以枚举i和i的倍数n,累加i * phi(n/i)即可. #include <cstdio> typedef long long LL; ; ]; LL f[maxn + ]; void phi_table() { phi[] = ; ; i <…

题意: 题目背景略去,将这道题很容易转化为,给出n求,n以内的有序数对(x, y)互素的对数. 分析: 问题还可以继续转化. 根据对称性,我们可以假设x<y,当x=y时,满足条件的只有(1, 1). 设f(n)为 集合S{(x, y) | x<y且x.y互素} 的个数,则所求答案为2f(n)+1 f(n)表达式为: ,其中φ(n)为欧拉函数 这里有欧拉函数的一些介绍 #include <cstdio> ; ], sum[maxn + ]; void phi_table(int n)…

Reflect Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 256 MB 题目连接 http://bestcoder.hdu.edu.cn/contests/contest_chineseproblem.php?cid=628&pid=1003 Description 从镜面材质的圆上一点发出一道光线反射NN次后首次回到起点. 问本质不同的发射的方案数. Input 第一行一个整数T,表示数据组数.T \leq 20T≤20 对于每一个组,第一行一个整数n(1 \leq n…

上三角行恰好是[1,n-1]的欧拉函数 http://www.luogu.org/problem/show?pid=2158#sub //#pragma comment(linker, "/STACK:167772160") #include <cstdio> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <iostream> #include <queue> #include…

何为原根?由费马小定理可知 如果a于p互质 则有a^(p-1)≡1(mod p)对于任意的a是不是一定要到p-1次幂才会出现上述情况呢?显然不是,当第一次出现a^k≡1(mod p)时, 记为ep(a)=k 当k=(p-1)时,称a是p的原根每个素数恰好有f(p-1)个原根(f(x)为欧拉函数) 定理:对于奇素数m, 原根个数为phi(phi(m)), 由于phi(m)=m-1, 所以为phi(m-1).某大牛的证明: {xi%p | 1 <= i <= p - 1} = {1,2,...,p…

[题目链接] https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1239 [题目大意] 计算欧拉函数的前缀和 [题解] 我们知道积性函数∑(phi(d))=n(d|n) 所以∑∑(miu(d))=n*(n+1)/2(d|i){i=1}^{n} 因此我们得到F(n)=n*(n+1)/2-∑F(n/d){d=2}^{n} 同时用hash记忆化phi函数的前缀和 [代码] #include <cstdio> #include…

GCD Time Limit: 6000/3000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 5454    Accepted Submission(s): 1957 Problem Description Given 5 integers: a, b, c, d, k, you're to find x in a...b, y in c...d that GCD(x, y…

点击打开链接 //求SUM(gcd(i,n), 1<=i<=n) /* g(n)=gcd(i,n),根据积性定义g(mn)=g(m)*g(n)(gcd(m,n)==1) 所以gcd(i,n)是积性的,所以f(n)=sum(gcd(i,n))是积性的, f(n)=f(p1^a1*p2^a2*...*pn^an)=f(p1^a1)*f(p2^a2)*..*f(pn^an) 求f(p1^a1)就可以了,设d为p1^a1的一个因子,gcd(i,n)的个数为phi(n/d) (gcd(i,n/d)==1…

传送门:Bi-shoe and Phi-shoe 题意:给出多个n(1<=n<=1e6),求满足phi(x)>=n的最小的x之和. 分析:先预处理出1~1e6的欧拉函数,然后建立一颗线段树维护最大值,对于每个n询问大于等于n的最左边下标. #pragma comment(linker,"/STACK:1024000000,1024000000") #include <cstdio> #include <cstring> #include <…

题目链接:hdu 2824 The Euler function 题意: 让你求一段区间的欧拉函数值. 题解: 直接上板子. 推导过程: 定义:对于正整数n,φ(n)是小于或等于n的正整数中,与n互质的数的数目. 例如:φ(8)=4,因为1,3,5,7均和8互质. 性质:1.若p是质数,φ(p)= p-1. 2.若n是质数p的k次幂,φ(n)=(p-1)*p^(k-1).因为除了p的倍数都与n互质 3.欧拉函数是积性函数,若m,n互质,φ(mn)= φ(m)φ(n). 根据这3条性质我们就可以推…

题意:题目给出一个欧拉函数值F(X),让我们求>=这个函数值的最小数N,使得F(N) >= F(X); 分析:这个题目有两种做法.第一种,暴力打出欧拉函数表,然后将它调整成有序的,再建立一个新的表格记录满足条件的最小的欧拉值. 第二种,根据欧拉函数的性质,针对一个素数N,F(N) = N-1; 然后假设第一个大于N的素数为M,它的函数值为M-1,这时,在(N,M)之间的任何一个数都是合数,并且他们的欧拉值一定小于M-1,所以我们要找到题目中要求的最小数,可以从比它大一的数开始找,直到找到第一个…

题目链接 先看题目中给的函数f(n)和g(n) 对于f(n),若自然数对(x,y)满足 x+y=n,且gcd(x,y)=1,则这样的数对对数为f(n) 证明f(n)=phi(n) 设有命题 对任意自然数x满足x<n,gcd(x,n)=1等价于gcd(x,y)=1 成立,则该式显然成立,下面证明这个命题. 假设gcd(x,y)=1时,gcd(x,n)=k!=1,则n=n'k,x=x'k,gcd(x,y)=gcd(x,n-x)=gcd(x'k,(n'-x')k)=k,与假设gcd(x,y)=1不符,…

题目描述  BG 有一块细长的蛋糕,长度为 n. 有一些人要来 BG 家里吃蛋糕, BG 把蛋糕切成了若干块(整数长度),然后分给这些人. 为了公平,每个人得到的蛋糕长度和必须相等,且必须是连续的一段. 但是, BG 并不知道要有多少人来. 他只知道, 来的人数为n的约数,且小于n. 显然把蛋糕平均分成 n 块一定能满足要求.但是, BG 想要分出的块数尽量少.现在 BG 想知道,他要把蛋糕分成至少多少块,才能使得不管多少人来都能满足要求. 输入格式 输入文件名为 cake.in. 输入共一个整…

Longge's problem Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 6918   Accepted: 2234 Description Longge is good at mathematics and he likes to think about hard mathematical problems which will be solved by some graceful algorithms. Now…

解题思路类似莫比乌斯函数之和 题目大意:求[1,n]内的欧拉函数$\varphi$之和.($n<=2*10^{9}$) 思路:令$ M(n)=\sum_{i=1}^{n}\varphi (i)  $,题目所求即为$ M(n) $. 由于$ \sum_{d|n} \varphi (d)=n $ ,所以$ \sum_{i=1}^{n} \sum_{d|i} \varphi (d)=\frac{n(n+1)}{2} $ 令$ i=kd $,则有$ \sum_{i=1}^{n} \sum_{d|i} \…

BZOJ_4804_欧拉心算_欧拉函数 Description 给出一个数字N Input 第一行为一个正整数T,表示数据组数. 接下来T行为询问,每行包含一个正整数N. T<=5000,N<=10^7 Output 按读入顺序输出答案. Sample Input 1 10 Sample Output 136 $\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\varphi(gcd(i,j))$ $=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\lim…