数论--扩展欧几里得exgcd

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数论--扩展欧几里得exgcd

算法思想我们想求得一组\(x,y\)使得 \(ax+by = \gcd(a,b)\) 根据 \(\gcd(a,b) = \gcd(b,a\bmod b)\) 如果我们现在有\(x',y'\) 使得 \(bx'+(a\bmod b)y' = \gcd(b,a\bmod b)\) 那么 \(ax+by = bx'+( a-\lfloor\frac a b\rfloor b)y'\) 移项之后 \(ax+by = ay'+b(x'-\lfloor\frac a b\rfloor y')\) 我们可以…

interesting Integers(数学暴力||数论扩展欧几里得)

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同余问题（一）——扩展欧几里得exgcd

前言扩展欧几里得算法是一个很好的解决同余问题的算法,非常实用. 欧几里得算法简介欧几里得算法,又称辗转相除法. 主要用途求最大公因数\(gcd\). 公式 \(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\) 公式证明 \(a\)可以表示成\(a=kb+a\%b\)(\(k\)为自然数). 假设\(g\)是\(a,b\)的一个公约数,则有\(g|a, g|b\). \(\because a\%b=a-kb\), \(\therefore g|(a\%b),\therefore g\)是\(b…

浅谈扩展欧几里得[exgcd] By cellur925

关于扩展欧几里得从寒假时就很迷,抄题解过了同余方程,但是原理并不理解. 今天终于把坑填上了qwq. 由于本人太菜,不会用markdown,所以这篇总结是手写的(什么).(字丑不要嫌弃嘛) ********Update9.28********** 刚刚我们求出的是一组特值,那么如何求通值? 约定:设x0,y0为一组特解,t为任意整数,设a>b(不行再交换) 那么有 x=x0+b/gcd*t y=y0-a/gcd*t ******************************* 奉上三道例题: E…

扩展欧几里得(exgcd)与同余详解

exgcd入门以及同余基础 gcd,欧几里得的智慧结晶,信息竞赛的重要算法,数论的...(编不下去了讲exgcd之前,我们先普及一下同余的性质: 若,那么若,,且p1,p2互质, 有了这三个式子,就不用怕在计算时溢出了. 下面我会用与分别表示a与b的最大公约数与最小公倍数. 首先会来学扩欧的同学肯定都会欧几里得算法(即辗转相除法)了吧而通过观察发现:,先除后乘防溢出. 所以与的代码如下: inline int gcd(int a,int b) {)?a:gcd(b,a%b);} inlin…

扩展欧几里得(exgcd)-求解不定方程/求逆元

贝祖定理:即如果a.b是整数,那么一定存在整数x.y使得ax+by=gcd(a,b).换句话说,如果ax+by=m有解,那么m一定是gcd(a,b)的若干倍.(可以来判断一个这样的式子有没有解)有一个直接的应用就是如果ax+by=1有解,那么gcd(a,b)=1: int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);} 然而这并不能告诉我们x,y解是多少. 扩欧首先我们观察上面的式子发现一定有一个解a*1+b*0=gcd(a,b).(b%a=0) 但是…

扩展欧几里得 exGCD

Elementary Number Theory - Extended Euclid Algorithm Time Limit : 1 sec, Memory Limit : 65536 KB Japanese version is here Extended Euclid Algorithm Given positive integers a and b, find the integer solution (x, y) to ax+by=gcd(a,b), where gcd(a,b) is…