动态规划之Fib数列类问题应用

一,问题描述有个小孩上楼梯,共有N阶楼梯,小孩一次可以上1阶,2阶或者3阶.走到N阶楼梯,一共有多少种走法? 二,问题分析 DP之自顶向下分析方式: 爬到第N阶楼梯,一共只有三种情况(全划分,加法原理),从第N-1阶爬1阶到第N阶:从第N-2阶爬2阶到第N阶:从第N-3爬3阶到第N阶. 故:way(N)=way(N-1)+way(N-2)+way(N-3) 这与求Fib数列非常相似,当然,其他类似的问题也可以这样求解. 初始条件: way(1)=1 way(2)=2 way(3)=4 这里解释…

FIB数列

斐波那契级数除以N会出现循环,此周期称为皮萨诺周期. 下面给出证明必然会出现循环这是基于下面事实: 1． R(n+2)=F(n+2) mod P=(F(n+1)+F(n)) mod P=(F(n+1) mod p +F(n) modp) mod p 2．斐波那契数列的最大公约数定理:gcd(F(m),F(n))=F(gcd(m,n)) 最大公约数定理表明如果F(k)能被N整除,则F(ik)也能被N整除,这就表明了斐波那契数列所含因子的周期性,下面列举: 因子:2,3,4,5, 6,7,8,…

bzoj5104: Fib数列

Description Fib数列为1,1,2,3,5,8... 求在Mod10^9+9的意义下,数字N在Fib数列中出现在哪个位置无解输出-1 Input 一行,一个数字N,N < = 10^9+9 $r_1=\frac{1+\sqrt 5}{2}\\ r_2=\frac{1-\sqrt 5}{2}=-\frac{1}{r_1}\\ N=Fib_x=r_1^x-r_2^x\\ N^2=r_1^{2x}+r_2^{2x}-2(-1)^x\\ ±(r_1^x+r_2^x)=\sqrt{N^2+4…

UVaLive 3357 Pinary (Fib数列+递归)

题意:求第 k 个不含前导 0 和连续 1 的二进制串. 析:1,10,100,101,1000,...很容易发现长度为 i 的二进制串的个数正好就是Fib数列的第 i 个数,因为第 i 个也有子问题,其子问题也就是Fib,这样就可以用递归来解决了. 代码如下: #pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000") #include <cstdio> #include <string> #include…

【bzoj5118】Fib数列2 费马小定理+矩阵乘法

题目描述 Fib定义为Fib(0)=0,Fib(1)=1,对于n≥2,Fib(n)=Fib(n-1)+Fib(n-2) 现给出N,求Fib(2^n). 输入本题有多组数据.第一行一个整数T,表示数据组数. 接下来T行每行一个整数N,含义如题目所示. n≤10^15, T≤5 输出输出共T行,每行一个整数为所求答案. 由于答案可能过大,请将答案mod 1125899839733759后输出样例输入 2231 样例输出 3343812777493853 题解费马小定理+矩阵乘法傻逼题,根据…

HDU3977 Evil teacher 求fib数列模p的最小循环节

In the math class, the evil teacher gave you one unprecedented problem! Here f(n) is the n-th fibonacci number (n >= 0)! Where f(0) = f(1) = 1 and for any n > 1, f(n) = f(n - 1) + f(n - 2). For example, f(2) = 2, f(3) = 3, f(4) = 5 ... The teacher u…

1022. Fib数列

https://acm.sjtu.edu.cn/OnlineJudge/problem/1022 Description 定义Fib数列:1,1,2,3,5,8,13,…1,1,2,3,5,8,13,… 求第NN项除以20102010的余数 Input Format 输入仅一行,为一个整数NN Output Format 输出仅一行,为第NN项除以20102010的余数 Sample Input 3 Sample Output 2 Limits: 对于70%的数据 N≤1,000,000N≤1,…

[bzoj5118]Fib数列2_费马小定理_矩阵乘法

Fib数列2 bzoj-5118 题目大意:求Fib($2^n$). 注释:$1\le n\le 10^{15}$. 想法:开始一看觉得一定是道神题,多好的题面啊?结果...妈的,模数是质数,费马小定理就tm完事了,将fib数列的通项公式列出来然后费马小定理... 最后,附上丑陋的代码... ...(照着郭爷一顿瞎jb敲) #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algo…

【BZOJ5104】Fib数列（BSGS，二次剩余）

[BZOJ5104]Fib数列(BSGS,二次剩余) 题面 BZOJ 题解首先求出斐波那契数列的通项: 令$A=\frac{1+\sqrt 5}{2},B=\frac{1-\sqrt 5}{2}$,那么$f[n]=\frac{1}{\sqrt 5}(A^n-B^n)$. 然后有$A=-\frac{1}{B}$,所以有:$f[n]=\frac{1}{\sqrt 5}((-\frac{1}{B})^n-B^n)$. 令$x=B^n$,这里需要考虑一下$n$的奇偶性: 如果\…

@bzoj - 5104@ Fib数列

目录 @description@ @solution@ @accepted code@ @details@ @description@ Fib数列为1,1,2,3,5,8... 求在Mod10^9+9的意义下,数字N在Fib数列中出现在哪个位置无解输出-1 原题传送门. @solution@ 一个熟练的 OIer 选手应该能迅速发现 5 在模 10^9 + 9 意义下有二次剩余.考虑斐波那契通项公式: \[f_i = \frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1 + \sqrt{5}…

bzoj5118 Fib数列2 二次剩余+矩阵快速幂

题目传送门 https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5118 题解这个题一看就是不可做的样子. 求斐波那契数列的第 $n$ 项,$n \leq 2^{10^{15}}$??? 这样人怎么矩阵快速幂啊. 等等这个模数很神奇啊. $1125899839733759$ 好像是一个质数,还以 $9$ 结尾. 那么 $5$ 对于 $1125899839733759$ 一定有二次剩余咯. 那么根据 Fib 的通项公式 \[ f(n)…

Fib数列问题（项数很大）

用fib(n)表示斐波那契数列的第n项,现在要求你求fib(n) mod m.fib(1)= 1, fib(2)= 1. 输入格式输入2个整数n(1≤n≤1018), m(2≤m≤10000000). 输出格式输出fib(n)对m取模的值. 样例输入1 样例输出1 样例输入2 样例输出2 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; struct matrix { LL a[][]; }; matrix…

fib数列变种题目

对一个正整数作如下操作:如果是偶数则除以2,如果是奇数则加1,如此进行直到1时操作停止,求经过9次操作变为1的数有多少个? 第9次操作:结果1由2产生.1个被操作数8:结果2只能由4产生.1个被操作数7:结果4由8.3产生.2个6:结果8由16.7产生:结果3由6产生.共3个5:结果16由32.15产生:结果7由14产生:结果6由12.5产生.共5个…每次操作,偶数(2除外)都由该数减1和该数的2倍得来,奇数只由该数的2倍得来各次操作的操作对象个数为:1,1,2,3,5,8,13,21,34,……

BZOJ5104 Fib数列（二次剩余+BSGS）

5在1e9+9下有二次剩余,那么fib的通项公式就有用了. 已知Fn,求n.注意到[(1+√5)/2]·[(1-√5)/2]=-1,于是换元,设t=[(1+√5)/2]n,原式变为√5·Fn=t-(-1)n·t-1.同乘t并移项,可得t2-√5·Fn·t-(-1)n=0.讨论n的奇偶性,BSGS求二次剩余大力解方程即可.用BSGS求二次剩余是非常简单的,求出其以原根为底的离散对数即可. 注意二次剩余有正负两解,但似乎代进去正根(即√gk=gk/2)就行了,不太明白.以及题目要求最小解,BSGS的…

bzoj5118: Fib数列2（费马小定理+矩阵快速幂）

题目大意:求$fib(2^n)$ 就是求fib矩阵的(2^n)次方%p,p是质数,根据费马小定理有注意因为模数比较大会爆LL,得写快速乘法... #include<bits/stdc++.h> #define ll long long #define MOD(x) ((x)>=mod?(x-mod):(x)) using namespace std; ; ; ][];mtx(){memset(mp, , sizeof(mp));}}ans, base; ll n, T; inline…

BZOJ5118：Fib数列2（O1快速模）

题意:输入N,输出fib(2^N)%1125899839733759.(P=1125899839733759是素数) 思路:欧拉降幂,因为可以表示为矩阵乘法,2^N在幂的位置,矩阵乘法也可以降幂,所以有ans=a*base^num; num=2^N%(P-1). #include<bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; ; inline ll mul(ll x,ll y,ll p){ return ((x*y-(ll)(…

Luogu P4901 排队 fib数列+树状数组+倍增

这题让我升华..还好只重构了一遍首先我们发现:$n$较小时,整个队伍的形态跟 $n$ 比较大时的局部是一样的所以我们预处理出这个队伍的形态,和每一行每个位置的质因子个数的前缀和,$O(nlogn)$,然后每次回答$log(n)$ 方法: 1.线性筛,筛出每个数值因子的个数: 2.然后用一个树状数组,维护整个队列中的还存在的数的数量:相当于统计一个数组(设其为$a$)的前缀和,这个数组以自己为下标,存储这个数还存不存在,即$a[x]=1表示x存在,a[x]=0表示x不存在$:刚开始$a$中都…

BZOJ 5104 Fib数列（二次剩余+BSGS）

斐波那契数列的通项: \[\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})-(\frac{1-\sqrt{5}}{2}))\] 设T=$\sqrt{5}*N$,$y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ 原式可化为$y^n-(-\frac{1}{y}^n) \equiv T(mod\ p)$ 我们设$t=y^n$ 原式可继续化为$t-T*t \equiv (-1)^n(mod\ p)$ 然后我们对n进行奇偶讨论. 即分别求出\(t-T*…