BSGS算法总结

【codevs 1565】【SDOI 2011】计算器快速幂+拓展欧几里得+BSGS算法

BSGS算法是meet in the middle思想的一种应用,参考Yveh的博客我学会了BSGS的模版和hash表模板,,, 现在才会hash是不是太弱了,,, #include<cmath> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; struct node{ static const int mo=100007; int a[100010],v…

bzoj2242: [SDOI2011]计算器 && BSGS 算法

BSGS算法给定y.z.p,计算满足yx mod p=z的最小非负整数x.p为质数(没法写数学公式,以下内容用心去感受吧) 设 x = i*m + j. 则 y^(j)≡z∗y^(-i*m)) (mod p) 则 y^(j)≡z∗ine(y^(i*m)) (mod p)(逆元) 由费马小定理y^(p-1)≡1 (mod p) 得 ine(y^m) = y^(p-m-1) ine(y^(i*m)≡ine(y^((i−1)m))∗y^(p-m-1) 1.首先枚举同余符号左面,用一个hash保存(…

[BSGS算法]纯水斐波那契数列

学弟在OJ上加了道"非水斐波那契数列",求斐波那契第n项对1,000,000,007取模的值,n<=10^15,随便水过后我决定加一道升级版,说是升级版,其实也没什么变化,只不过改成n<=10^30000000,并对给定p取模,0<p<2^31.一样很水嘛大家说对不对. 下面来简单介绍一下BSGS算法,BSGS(Baby steps and giant steps),又称包身工树大步小步法,听上去非常高端,其实就是一个暴力搜索.比如我们有一个方程,a^x≡b (…

BSGS算法

BSGS算法我是看着$ppl$的博客学的,您可以先访问$ppl$的博客 Part1 BSGS算法求解关于$x$的方程 \[y^x=z(mod\ p)\] 其中$(y,p)=1$ 做法并不难,我们把$x$写成一个$am-b$的形式那么,原式变成了 $y^{am}=zy^b(mod\ p)$ 我们求出所有$b$可能的取值(0~m-1),并且计算右边的值同时用哈希或者$map$之类的东西存起来,方便查询对于左边,我们可以枚举所有可能的$a$,然后直接查…

BSGS算法及扩展

BSGS算法 $Baby Step Giant Step$算法,即大步小步算法,缩写为$BSGS$ 拔山盖世算法它是用来解决这样一类问题 $y^x = z (mod\ p)$,给定$y,z,p>=1$求解$x$ 普通的$BSGS$只能用来解决$gcd(y,p)=1$的情况设$x=a*m+b, m=\lceil \sqrt p \rceil, a\in[0,m), b\in[0,m)$ 那么$y^{a*m}=z*y^{-b} (mod\ p)$ 怎么求解,为…

uva11916 bsgs算法逆元模板，求逆元，组合计数

其实思维难度不是很大,但是各种处理很麻烦,公式推导到最后就是一个bsgs算法解方程 /* 要给M行N列的网格染色,其中有B个不用染色,其他每个格子涂一种颜色,同一列上下两个格子不能染相同的颜色涂色方案%100000007的结果是R,现在给出R,N,K,请求出最小的M 对于第一行来说,每个位置有k种选择,那么填色方案数是k^n 对于第二行来说,每个位置有k-1中选择,那么填色方案数时(k-1)^n种依次类推,如果i+1行的某个格子上面是白格,那么这个格子有k种填色方案将M行分为两部分,第一部…

BSGS算法及其扩展

bsgs算法: 我们在逆元里曾经讲到过如何用殴几里得求一个同余方程的整数解.而$bsgs$就是用来求一个指数同余方程的最小整数解的:也就是对于$a^x\equiv b \mod p$ 我们可以用$bsgs$在$O(\sqrt n)$ 的复杂度内求出关于$x$的最小正整数解.(前提是$p$为质数) $a^x\equiv b \mod p$ 我们可以知道如果我们的模数p是一个质数,我们将同余式的右边以逆元的形式乘到左边来,根据殴拉定理(因为p是质数,所以a,p互质)则我们…

BSGS算法学习笔记

从这里开始离散对数和BSGS算法扩展BSGS算法离散对数和BSGS算法设$x$是最小的非负整数使得$a^{x}\equiv b\ \ \ \pmod{m}$,则$x$是$b$以$a$为底的离散对数,记为$x = ind_{a}b$. 假如给定$a, b, m$,考虑如何求$x$,或者输出无解,先考虑$(a, m) = 1$的情况. 定理1(欧拉定理) 若$(a, m) = 1$,则$a^{\varphi(m)}\equiv 1 \pmod{m}$. 证明这里就不给出,因为在百度上随便搜一…

bsgs算法详解

例题 poj 2417bsgs http://poj.org/problem?id=2417 这是一道bsgs题目,用bsgs算法,又称大小步(baby step giant step)算法,或者拔(b)山(s)盖(g)世(s)算法,或者北(b)上(s)广(g)深(s)算法... 题目大意就是给定a,b,p,求最小的非负整数x,满足 ax ≡ b(mod p) 先令 x = i*m-j,其中 m=ceil(sqrt(p)),ceil是向上取整. 这样原式就变为 ai*m-j =…

BSGS算法总结 $BSGS$算法(Baby Step Giant Step),即大步小步算法,用于解决这样一个问题: 求$y^x\equiv z\ (mod\ p)$的最小正整数解. 前提条件是$(y,p)=1$. 我们选定一个大步长$m=\sqrt p + 1$,设$x=am+b$,那么显然有$a,b\in[0,m)$.这样就有$y^{am+b}\equiv z\ (mod\ p)$,就有$(y^m)^a=z*y^{-b}\ (mod\ p)$. 但是这个逆元…

BSGS算法+逆元 POJ 2417 Discrete Logging

POJ 2417 Discrete Logging Time Limit: 5000MS Memory Limit: 65536K Total Submissions: 4860 Accepted: 2211 Description Given a prime P, 2 <= P < 231, an integer B, 2 <= B < P, and an integer N, 1 <= N < P, compute the discrete logarith…

POJ2417 Discrete Logging | A,C互质的bsgs算法

题目: 给出A,B,C 求最小的x使得Ax=B (mod C) 题解: bsgs算法的模板题 bsgs 全称:Baby-step giant-step 把这种问题的规模降低到了sqrt(n)级别首先B的种类数不超过C种,结合鸽巢原理,所以Ax具有的周期性显然不超过C 所以一般的枚举算法可以O(C)解决这个问题但是可以考虑把长度为C的区间分为k块,每块长度为b 显然x满足x=bi-p的形式(1<=i<=k,0<=p<b),所以Ax=B (mod C)移项之后得到Abi=Ap*…

BSGS算法初探

前言 $BSGS$算法,全称$Baby\ Step\ Giant\ Step$,即大小步算法.某些奆佬也称其为拔(Ba)山(Shan)盖(Gai)世(Shi)算法. 它的主要作用是求解形式如$x^t\equiv y(mod\ MOD)$的式子中$t$的值$(gcd(x,MOD)=1)$. 而且,它是一个简单易懂的算法(毕竟连我这样的数学渣渣都能理解). 一个简单的性质首先,我们需要知道一个简单的性质. 由费马小定理可得,\(x^{MOD-1}\equiv1(mod\ MOD…

luogu2485 [SDOI2011]计算器 poj3243 Clever Y BSGS算法

BSGS 算法,即 Baby Step,Giant Step 算法.拔山盖世算法. 计算 $a^x \equiv b \pmod p$. $p$为质数时特判掉 $a,p$ 不互质的情况. 由于费马小定理 $x^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ 当 $p$ 为质数,则要是暴力的话只需要枚举到 $p-1$ 即可. 假设 $x=it-j$,其中 $t= \lceil \sqrt p \rceil,j \in [0,t]$,方程变为 \(a^{it-j}…

BSGS算法及拓展

https://www.zybuluo.com/ysner/note/1299836 定义一种用来求解高次同余方程的算法. 一般问题形式:求使得$y^x\equiv z(mod\ p)$的最小非负$x$. $BSGS$算法要求$p$是质数. 由费马小定理可知,$y^{p-1}\equiv1(mod\ p)$,所以暴力枚举只要枚举到$p−1$即可. 但是由于$p$一般都很大,所以一般都跑不动... 优化算法$ing...$ 现在令$x=mi−j$(其中\(m…

BSGS算法（大小步算法）

$BSGS$ 算法 $Baby\ Steps\ Giant\ Steps$. 致力于解决给定两个互质的数 $a,\ p$ 求一个最小的非负整数 $x$ 使得 $a^x\equiv b(mod\ p)$ 其中 $b$ 为任意正整数,$2≤a<p$,$2≤b<p$ 该算法使用的原理与欧拉定理有关,其中$a,\ p$互质 $a^{\phi (p)}\equiv 1(mod\ p)$ 又因为 $a^0\equiv 1(mod\ p)$ 所以$0到\phi p$是一个循环节,也就是说该算法最多查找$\p…

【算法】BSGS算法

BSGS算法 BSGS算法用于求解关于x的模方程$A^x\equiv B\mod P$(P为质数),相当于求模意义下的对数. 思想: 由费马小定理,$A^{p-1}\equiv 1\mod P$,在p-1次方后开始循环,所以若原方程有解,$x_{min}\in[0,P-1]$. 设$x=i*m+j$,有$A^{i*m+j}\equiv B\mod P$,移项得${(A^m)}^i\equiv B*A^{-j}\mod P$,类似天天爱跑步,对于左右互不影响的等式可以开桶统…

Luogu P3846 BSGS算法

https://www.luogu.com.cn/problem/P3846 BSGS这个东西是用来干啥的? 形如下面这个式子: \[a^b = c\;(mod\;p) \] 其中:p是一个质数.$2\leq a,b<p\leq2^{31}-1$ 求一个最小的正整数b,使得式子成立首先,我们要知道一个东西.这个式子是有循环节的根据费马小定理:p是质数,且a不是p的倍数时有:$a^{p-1}\equiv1\;(mod\;p)$ 而:$a^0=1$ 因此答案是落在\([0,p-2]…

BSGS算法解析

前置芝士: 1.快速幂(用于求一个数的幂次方) 2.STL里的map(快速查找) 详解 BSGS 算法适用于解决高次同余方程 $a^x\equiv b (mod p)$ 由费马小定理可得 x <= p-1 我们设 $m = sqrt(p)$ 至于为什么写,下文会讲到. 那么$x$就可以用 $m$ 表示出来. 即 x = $k \times m - j$ 移项可得 $a^t \equiv b\times a^j$ 其中 t = $k \times m$ 这也就是我们为什…

BSGS及扩展BSGS算法及例题

$BSGS(baby-step-giant-step)$算法是用来解高次同余方程的最小非负整数解的算法,即形如这个的方程: $a^x\equiv b(mod\ p)$ 其中$p$为质数(其实只要($(a,p)=1$即可) 首先考虑暴力怎么解:由费马小定理可知$a^{p-1}\equiv 1(mod\ p)$,也就是说如果在$[0,p-1]$内无解的话,方程就是无解的.所以我们从小到大枚举$[0,p-1]$中的每一个数,满足方程就结束.但是这里$p-1$并不一定是最…

扩展BSGS算法

求解A^x ≡ B mod P (P不一定是质数)的最小非负正整数解先放几个同余定理: 一.判断如果B==1,那么x=0,算法结束二.若gcd(A,P)不能整除 B,则无解,算法结束三.若gcd(A,P)!=1,令d=gcd(A,P),若d不能整除B,则无解,算法结束. 有四.持续步骤三,直至 gcd(A,)=1 有五.枚举 0<x<k,若有解,输出x,算法结束六.对于x>=k, A=,B=,P= A,P 互素 , 直接用BSGS 求 * A ^ x ≡ B mod…

[模板]大步小步算法——BSGS算法

大步小步算法用于解决:已知A, B, C,求X使得 A^x = B (mod C) 成立. 我们令x = im - j | m = ceil(sqrt(C)), i = [1, m], j = [0, m] 那么原式就变成了: A^(im) = A^j * B 我们先枚举j,把A^j * B加入哈希表然后枚举i,在表中查照A^(i*m),如果找到了,那么就找到了一个解. 算法的复杂度为O(n^0.5) 代码: #include <bits/stdc++.h> #define ll long…

高次不定方程BSGS算法

学习数学真是一件赛艇的事. BSGS名字听起来非常有意思,力拔山兮气盖世,北上广深,小步大步...算法其实更有意思,它是用来求解一个方程的 $A^x≡B mod P$ 是不是特别眼熟,有几个式子长的特别像,先观察一下: 一:快速幂: 求$A^B mod P$的值二:乘法逆元 $A*x ≡ 1 (mod P)$ 或者 $A*x ≡ B (mod P)$ 三:欧拉定理 $A^{φ(P)}≡ 1 (mod P)$ (A,P互质) 四:费马小定理 \(A^{P-1} ≡ 1 (mo…

BSGS算法（模板）

BSGS (大步小步算法) 已知$a.b. c$,求$x$.令$a^x \equiv b \pmod c$. 步骤 \[m = \lceil \sqrtc\ \rceil \]\[x = i*m-j\ \ (i\in[1, m], j\in[0, m])\]\[a^{i*m-j} \equiv b \pmod c\]\[a^{i*m}\equiv b*a^j \pmod c\] 枚举$a^j(j\in[0, m])$放入$hash$表里面,再枚举$a^{i*m}$,在\(…

BSGS算法_Baby steps giant steps算法（无扩展）详解

Baby Steps-Varsity Giant Step-Astronauts(May'n・椎名慶治) 阅读时可以听听这两首歌,加深对这个算法的理解.(Baby steps少女时代翻唱过,这个原唱反而不是很有名……Giant Step就比较碉,是一个假面骑士片的插曲,由超碉的May'n和一个人建立的临时组合唱的,怕不怕) 这个主要是用来解决这个题: A^x=B(mod C)(C是质数),都是整数,已知A.B.C求x. 我在网上看了好多介绍,觉得他们写得都不够碉,我看不懂…于是我也来写一发. 先…