前言 本文中的排列指由n个1, m个-1构成的序列中的一种. 题目这么长不吐槽了,但是这确实是一道好题. 题解 DP题话不多说,直接状态/变量/转移. 状态 我们定义f表示"最大prefix sum"之和 变量 f[i][j]为有i个1,j个-1的"最大prefix sum"之和 转移 我们记C[i][j]为\(\left(\begin{matrix} i \\ j\end{matrix}\right)\),那么: \[f[i][j] = \left\{\begin…

题面 题解 把题意变换一下,从(0,0)走到(n,m),每次只能网右或往上走,所以假设最大前缀和为f(n),那么走的时候就要到达但不超过 y = x-f(n) 这条线, 我们可以枚举答案,然后乘上方案数. 根据卡塔兰数的通项公式公式的推导过程, 可以得出方案数的解法, 对于这道题的图中,求碰到过红线的方案数则是把第一次碰到红线后的步骤都沿红线轴对称折叠过去,那么就唯一对应一个从(0,0)走到(m+f(n),n-f(n))的方案,方案数就为C(n+m,n-f(n)) (这里是组合数) 我们再容斥一…

做法一 \(O(nm)\) 考虑\(f(i,j)\)为i个+1,j个-1的贡献 \(f(i-1,j)\)考虑往序列首添加一个\(1\),则贡献\(1\times\)为序列的个数:\(C(j+i-1,i-1)\) \(f(i,j-1)\)考虑首添加一个\(-1\),则贡献为\(-1\times\)最大前缀和不为\(0\)的个数,考虑序列个数减掉为\(0\)的个数 设\(k(i,j)\)为\(0\)的个数 \(i=0:k(i,j)=1\) \(j=0或i>j:k(i,j)=0\) \(i\le:k(…

传送门 •参考资料 [1]:CF1204E Natasha, Sasha and the Prefix Sums(动态规划+组合数) •题意 由 n 个 1 和 m 个 -1 组成的 $C_{n+m}^{n}$ 个序列: 对所有序列的最大前缀和求和: 并规定最大前缀和最小是 0: •题解 定义 $(i,j)$ 表示序列由 i 个 1,j 个 -1 组成: $(i,j)$ 共有 $C_{i+j}^{i}$ 种不同的组合方式: $(i-1,j)$ 共有 $C_{i+j-1}^{i-1}$ 种不同的组…

题意:求n个1,m个-1组成的所有序列中,最大前缀之和. 首先引出这样一个问题:使用n个左括号和m个右括号,组成的合法的括号匹配(每个右括号都有对应的左括号和它匹配)的数目是多少? 1.当n=m时,显然答案为卡特兰数$C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n+1}$ 2.当n<m时,无论如何都不合法,答案为0 3.当n>m时,答案为$C_{n+m}^{n}-C_{n+m}^{n+1}$,这是一个推论,证明过程有点抽象,方法是把不合法的方案数等价于从(0,-2)移动到(n+m,n-m)的方案数,…

http://codeforces.com/contest/1204/problem/E 给定n个 1 m个 -1的全排 求所有排列的$f(a) = max(0,max_{1≤i≤l} \sum_{j=1}^{i} a_{j} )$之和 组合数,枚举 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; ; int n, m; ll C[][]; ll sum; ll realSum; ll ans; void…

Codeforces Round #581 (Div. 2)-E. Natasha, Sasha and the Prefix Sums-动态规划+组合数学 [Problem Description] ​ 给你\(n\)个\(1\),\(m\)个\(-1\),他们任意排列有\(\frac{(n+m)!}{n!\cdot m!}\)中排列,每种排列都有一个最大前缀和(可能为\(0\)),求所有排列的最大前缀和之和为多少. [Solution] ​ 定义\(dp[i][j]\)表示有\(i\)个\(…

A non-empty zero-indexed string S is given. String S consists of N characters from the set of upper-case English letters A, C, G, T. This string actually represents a DNA sequence, and the upper-case letters represent single nucleotides(核苷). You are…

A non-empty zero-indexed array A consisting of N integers is given. The consecutive elements of array A represent consecutive cars on a road. Array A contains only 0s and/or 1s: 0 represents a car traveling east, 1 represents a car traveling west. Th…

Prefix Sums 在 n >= 4时候直接暴力. n <= 4的时候二分加矩阵快速幂去check #include<bits/stdc++.h> #define LL long long #define LD long double #define fi first #define se second #define mk make_pair #define PLL pair<LL, LL> #define PLI pair<LL, int> #def…

按tutorial打的我血崩,死活挂第四组- - 思路来自FXXL /* CodeForces 837F - Prefix Sums [ 二分,组合数 ] | Educational Codeforces Round 26 题意: 设定数组 y = f(x) 使得 y[i] = sum(x[j]) (0 <= j < i) 求初始数组 A0 经过多少次 f(x) 后 会有一个元素 大于 k 分析: 考虑 A0 = {1, 0, 0, 0} A1 = {1, 1, 1, 1} -> {C(…

PROBLEM D - Round Subset 题 OvO http://codeforces.com/contest/837/problem/D 837D 解 DP, dp[i][j]代表已经选择了i个元素,当2的个数为j的时候5的个数的最大值 得注意最大值(貌似因为这个喵呜了一大片喵~☆) #include <iostream> #include <cstring> #include <cstdio> #include <cmath> #include…

点分治+李超树 因为题目要求的是树上所有路径,所以用点分治维护 因为在点分治的过程中相当于将树上经过当前$root$的一条路径分成了两段 那么先考虑如何计算两个数组合并后的答案 记数组$a$,$b$,求得是将$b$数组接到$a$数组的答案 其$a$,$b$的sum of prefix sums分别为$sa$,$sb$,其中$a$数组所有元素的和为$sum$,$b$数组长度为$l$ 然后整合一下原来计算的式 其实对于一个数组$P$的sum of prefix sums就是 $n*p_{1}+(n-…

题目大意: 给出一个函数P,P接受一个数组A作为参数,并返回一个新的数组B,且B.length = A.length + 1,B[i] = SUM(A[0], ..., A[i]).有一个无穷数组序列A[0], A[1], ... 满足A[i]=P(A[i-1]),其中i为任意自然数.对于输入k和A[0],求一个最小的下标t,使得A[t]中包含不小于k的数值. 其中A[0].length <= 2e5, k <= 1e18,且A[0]中至少有两个正整数. 数学向的题目.本来以为是个找规律的题目…

首先上题目: A DNA sequence can be represented as a string consisting of the letters A, C, G and T, which correspond to the types of successive nucleotides in the sequence. Each nucleotide has an impact factor, which is an integer. Nucleotides of types A,…

题目链接:http://codeforces.com/contest/837/problem/F 题意:如题QAQ 解法:参考题解博客:http://www.cnblogs.com/FxxL/p/7282909.html    由于新生成的m+1个数列第一个肯定为0,所以可以忽略掉,当作每次新生成的数列只拥有m个元素    来枚举一个例子,可以发现规律. 当a[] = {1,0,0,0,0}时,手动推出的矩阵如下: 可以发现对于这个矩阵显然是满足杨辉三角的,我们二分出一个值后可以直接利用组合数来…

题目链接 思路分析 自认为是一道很好的构造题,但是我并不会做. 看了题解后有一些理解,在这里再梳理一遍巧妙的思路. 我们先来看这样的一张图: 我们发现当去掉叶子节点的父亲时,剩下树的价值和等于叶子节点的价值和,显然全是正的不太可能. 对于叶子节点我们不妨设他们的权值都是 \(1\) ,此时若删去最大的祖先节点,可以发现第二层节点的权值差正好和其儿子的个数差相同. 于是我们初步推断出权值大小可能和儿子的个数有着密切的关系.(实际就是这样) 上面的问题好像没有什么突破口了,我们转而考虑如何确定一个节…

给定一棵 \(n\) 个点的带点权的树,求树上的路径 \(x_1,...,x_k\) ,最大化 \(\sum_{i=1}^k ia_{x_i}\) Solution 树上路径问题可用点分治. 考虑如何合并两条路径对每条路径,记 \(l\) 为长度(点数),\(v\) 为 \(\sum_{i=1}^l ia_{x_i}\) ,\(s\) 为 \(\sum a_i\) ,那么对于两条路径 \((l_1,v_1,s_1),(l_2,v_2,s_2)\),它们的并为 \((l_1+l_2-1,v_1+s…

当1为$a_{i}$中出现次数最多的元素(之一),则有以下结论-- 结论:$a_{i}$合法当且仅当$P\not\mid \sum_{i=1}^{n}a_{i}$且$\sum_{i=1}^{n}[a_{i}=1]\le (P-1)+\sum_{1\le i\le n,a_{i}\ne 1}(P-a_{i})$ 证明: 必要性-- 若$P\mid \sum_{i=1}^{n}a_{i}$,则取整体作为前缀即不满足条件 同时,当1的个数多于该值,假设有$k$个非1的数(即$\sum_{i=1}^{n…

Codeforces 题面传送门 & 洛谷题面传送门 个人感觉这题称不上毒瘤. 首先看到选一条路径之类的字眼可以轻松想到点分治,也就是我们每次取原树的重心 \(r\) 并将路径分为经过重心和不经过重心两类路径.对于第二类路径我们肯定可以在对 \(r\) 所有子树进一步分治的过程中将其变成第一类路径,因此我们只用考虑怎样计算第一类路径的贡献即可. 显然对于一条第一类路径 \(x\to y\),我们要将其拆成 \(x\to r\) 和 \(r\to y\) 两部分分别处理,考虑怎样合并这两部分的贡献…

Content 给定 \(t\) 组数据,每组数据给定一个数 \(n\),判断 \(n\) 是否能够分解成连续正整数和,能的话给出最小数最大的方案. 数据范围:\(1\leqslant n\leqslant 10^9\). Solution 这道题如果暴力枚举的话,看数据范围就知道肯定会爆炸.因此我们要考虑推式子. 首先,我们设分解后的数列长度为 \(k\),首项为 \(a_1\).那么显然得到 \(\text{(1)}\) 式: \(\begin{aligned}n&=\dfrac{(a_1+…

CF#581 题解 A BowWow and the Timetable 如果不是4幂次方直接看位数除以二向上取整,否则再减一 #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<vector> #include<set> #include<map> using namespace std; #define M…

Codeforces Round #581(Div. 2) CF 1204 A. BowWow and the Timetable 题解:发现,$4$的幂次的二进制就是一个$1$后面跟偶数个$0$. 所以暴力判一下就好. Code: #include <bits/stdc++.h> #define N 110 using namespace std; char s[N]; int main() { scanf("%s", s + 1); int n = strlen(s +…

Given an array A of integers, return the number of (contiguous, non-empty) subarrays that have a sum divisible by K. Example 1: Input: A = [4,5,0,-2,-3,1], K = 5 Output: 7 Explanation: There are 7 subarrays with a sum divisible by K = 5: [4, 5, 0, -2…

lesson 5: prefix sums 1. PassingCars 2. CountDiv 3. GenomicRangeQuery 4. MinAvgTwoSlice lesson 5: prefix sums PassingCars Count the number of passing cars on the road. A non-empty zero-indexed array A consisting of N integers is given. The consecutiv…

Partial Sums 题解: 一个数列多次前缀和之后, 对于第i个数来说他的答案就是 ; i <= n; ++i){ ; j <= i; ++j){ b[i] = (b[i] + 1ll * a[j] * C(k-+j-i,j-i)) % mod; } } 唯一注意的就是这个k会到1e9. 观察可能,其实我们最多也就用了n个组合数, 并且这个C(n, m) 的 m 足够小. 所以我们可以根据定义先把这几个组合数先预处理出来. 代码: #include<bits/stdc++.h>…

题面:P1466 集合 Subset Sums 题解: dpsum=N*(N+1)/2;模型转化为求选若干个数,填满sum/2的空间的方案数,就是背包啦显然如果sum%2!=0是没有答案的,就特判掉F[i][j]表示对于前i个数,和为j的方案数F[0][0]=1;F[i][j]+=F[i-1][j-i] (j>=i)转化为for(int i=1;i<=N;i++) for(int j=sum/2;j>=i;j--) F[j]+=F[j-i];答案是F[sum/2]/2,因为真实题目要求是…

  计蒜客)翻硬币 //暴力匹配 #include<cstdio> #include<cstring> #define CLR(a, b) memset((a), (b), sizeof((a))) using namespace std; int n, m, t; int main() { int i, j, x; scanf("%d", &t); while(t--) { scanf("%d%d", &n, &m)…

题目 分析 这个Rnd353真是神仙题层出不穷啊,大力脑筋急转弯- - 不过问题也在我思维江化上.思考任何一种算法都得有一个“锚点”,就是说最笨的方法怎么办.为什么要这么思考,因为这样思考最符合我们的思维规律.然后从这种最笨的方法中找问题.找漏洞.找关键的变量不变量,就能转化出更好的更快的算法. 这题就是这样.最笨的方法是什么?随便从哪个点出发,按照一个方向一个一个抹平差距.可以保证,n-1次一定完成.那么哪里可以改进?0区间.0区间的时候我们可以不移动:比如说 0 0 2 -2 0 0,那么只…

Classic DP. The initial intuitive O(k*n^2) solution is like this: class Solution { public: /** * @param pages: a vector of integers * @param k: an integer * @return: an integer */ int copyBooks(vector<int> &pages, int k) { size_t n = pages.size(…