和上一题差不多,一个是μ*I=e,一个是φ*I=Id 稍改就得到了这题的代码 (我会告诉你我一开始逆元算错了吗) #include <bits/stdc++.h> #define MAX 5000000 #define MOD 1000000007 using namespace std; long long a,b,N; ],p[MAX],ans[MAX]; ]; long long work(long long n) { if(n<=MAX) return phi[n]; if(an…

1239 欧拉函数之和 基准时间限制:3 秒 空间限制:131072 KB 分值: 320 难度:7级算法题 收藏 关注 对正整数n,欧拉函数是小于或等于n的数中与n互质的数的数目.此函数以其首名研究者欧拉命名,它又称为Euler's totient function.φ函数.欧拉商数等.例如:φ(8) = 4(Phi(8) = 4),因为1,3,5,7均和8互质. S(n) = Phi(1) + Phi(2) + -- Phi(n),给出n,求S(n),例如:n = 5,S(n) = 1 +…

[题意]给定n,求Σφ(i),n<=10^10. [算法]杜教筛 [题解] 定义$s(n)=\sum_{i=1}^{n}\varphi(i)$ 杜教筛$\sum_{i=1}^{n}(\varphi *I)(i)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\varphi(d)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d=1}^{\frac{n}{i}}\varphi(d)$ 根据$id=\varphi*I$,$\sum_{i=1}^{n}(\varphi*I)(i)=\frac{i(i+1)…

[51Nod 1244] - 莫比乌斯函数之和 求∑i=1Nμ(i)\sum_{i=1}^Nμ(i)∑i=1N​μ(i) 开推 ∑d∣nμ(d)=[n==1]\sum_{d|n}\mu(d)=[n==1]d∣n∑​μ(d)=[n==1] 移项 μ(d)=[n==1]−∑d∣n,d<nμ(d)∴S(N)=∑i=1Nμ(i)=∑i=1N([i==1]−∑d∣i,d<iμ(d))=1−∑i=1N∑d∣i,d<iμ(d)\mu(d)=[n==1]-\sum_{d|n,d<n}\mu(d)\…

4805: 欧拉函数求和 Time Limit: 15 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 614  Solved: 342[Submit][Status][Discuss] Description 给出一个数字N,求sigma(phi(i)),1<=i<=N Input 正整数N.N<=2*10^9 Output 输出答案.   Sample Input 10 Sample Output 32 HINT   Source By FancyCoder   直…

bzoj3944 题目描述 输入 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问 输出 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2 样例输入 6 1 2 8 13 30 2333 样例输出 1 1 2 0 22 -2 58 -3 278 -3 1655470 2 bzoj4805 同上,不需要求mu 题解 杜教筛 公式推导: 这里有一个难点(其实也不能算难),就是由枚举d|i到枚举j≤⌊n/i⌋.此时可以看作下面语句的i是上面语句的i/d,…

做题重心转移到 LOJ 了. 至于为什么,如果你知道“……”的密码,就去看吧. LOJ 上用户自创题大多数都不可做,今天看到个可做题(而且还是个水题),就来做了一发. 明显枚举立方根.(以下令 $m=\lfloor\sqrt[3]{n}\rfloor$) $$\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=i^3}^{\min(n,(i+1)^3-1)}\gcd(i,j)$$ 由于 $i=m$ 比较特殊,我们把它拎出来:(其实就是把 $\min$ 拆开) $$\sum\lim…

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4805 给出一个数字N,求sigma(phi(i)),1<=i<=N https://blog.csdn.net/popoqqq/article/details/45023331 ←杜教筛的一些讲解 杜教筛用来求积性函数前缀和,本题同bzoj 3944,bzoj 3944多了一个求sigma( μ ( i ) ) #include<iostream> #include<cstd…

[BZOJ3944]Sum Description Input 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问 Output 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2 Sample Input 6 1 2 8 13 30 2333 Sample Output 1 1 2 0 22 -2 58 -3 278 -3 1655470 2 题解: 当i等于1时就是答案,剩余的部分递归算下去就行了(先预处理出1000000以内的答案,其余的答案要用…

题目链接: 1239:http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1239 1244:http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1244 杜教筛裸题,不过现在我也只会筛这俩前缀和... $$s(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i)$$ 那么就有: $$\sum_{i=1}^{n}f(i)\lfloor \frac{n}{i} \…

虽然都写了,过也过了,还是觉得杜教筛的复杂度好玄学 设f*g=h,∑f=S, 则∑h=∑f(i)S(n/i下取整) 把i=1时单独拿出来,得到 S(n)=(∑h-∑2->n f(i)S(n/i下取整) 右边的部分可以分块解决 递归一下,≤一个阈值的暴力表出来 注意阈值以上的也要记忆化 复杂度不会算,但从本题来看过1e10没问题 #include <bits/stdc++.h> #define MAX 5000000 using namespace std; long long a,b,N…

1244 莫比乌斯函数之和 基准时间限制:3 秒 空间限制:131072 KB 分值: 320 难度:7级算法题 收藏 关注 莫比乌斯函数,由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出.梅滕斯(Mertens)首先使用μ(n)(miu(n))作为莫比乌斯函数的记号.具体定义如下: 如果一个数包含平方因子,那么miu(n) = 0.例如:miu(4), miu(12), miu(18) = 0. 如果一个数不包含平方因子,并且有k个不同的质因子,那么miu(n) = (-1)^k.例如:miu(2), mi…

题目链接 map: //杜教筛 #include<map> #include<cstdio> typedef long long LL; const int N=5e6; int mu[N+3],P[N+3],cnt; bool Not_P[N+3]; std::map<LL,LL> sum; //std::map<LL,LL>::iterator it; void Init() { mu[1]=1; for(int i=2;i<N;++i) { if…

跟1244差不多. //由于(x+1)没有先mod一下一直WA三个点我... //由于(x+1)没有先mod一下一直WA三个点我... #include<cstdio> #include<cstring> #include<cctype> #include<algorithm> using namespace std; #define rep(i,s,t) for(ll i=s;i<=t;i++) #define dwn(i,s,t) for(ll i…

求$\sum_{i=1}^{n}\varphi (i)$,$n\leqslant 1e10$. 这里先把杜教筛的一般套路贴一下: 要求$S(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)$,而现在有一数论函数$g(i)$,$g(i)$的前缀和很无脑,且$f$和$g$的狄利克雷卷积的前缀和很无脑(太巧了吧..),那么由 $\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}f(d)g(\frac{i}{d})$ 闪一句,常用套路:设$i=kd$,转而枚举$k$. $=\sum_{k=1}^{n}g(k)\…

[题目链接] https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1239 [题目大意] 计算欧拉函数的前缀和 [题解] 我们知道积性函数∑(phi(d))=n(d|n) 所以∑∑(miu(d))=n*(n+1)/2(d|i){i=1}^{n} 因此我们得到F(n)=n*(n+1)/2-∑F(n/d){d=2}^{n} 同时用hash记忆化phi函数的前缀和 [代码] #include <cstdio> #include…

题面 传送门 题解 话说--就一个杜教筛--刚才那道拿过来改几行就行了-- //minamoto #include<bits/stdc++.h> #define R register #define ll long long #define IT map<ll,int>::iterator #define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i) #define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--…

1220 约数之和 题意:求\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sigma_1(ij)​\) \[ \sigma_0(ij) = \sum_{x\mid i}\sum_{y\mid j}[(x,y)=1]\\ \sigma_1(ij) = \sum_{x\mid i}\sum_{y\mid j}x\cdot\frac{j}{y}[(x,y)=1] \\ \] 怎么证明第二个式子? \[ \sigma_1(n) = \prod_i(1 + p_i + p_i^2 + ...…

http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1239 还是模板题. 杜教筛:\[S(n)=\frac{n(n+1)}{2}-\sum_{i=2}^nS\left(\left\lfloor\frac ni\right\rfloor\right)\] 基于质因子分解的筛法:详见2016年论文<积性函数求和的几种方法>(讲得很详细的~~~) 为什么我写的洲哥筛常熟巨大QAQ 杜教筛\(O\left(n^{\frac 23…

对正整数n,欧拉函数是小于或等于n的数中与n互质的数的数目.此函数以其首名研究者欧拉命名,它又称为Euler's totient function.φ函数.欧拉商数等.例如:φ(8) = 4(Phi(8) = 4),因为1,3,5,7均和8互质.   S(n) = Phi(1) + Phi(2) + ...... Phi(n),给出n,求S(n),例如:n = 5,S(n) = 1 + 1 + 2 + 2 + 4 = 10,定义Phi(1) = 1.由于结果很大,输出Mod 1000000007…

题目描述 求∑i=1n∑j=1n(i,j) mod (1e9+7)n<=1010\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(i,j)~mod~(1e9+7)\\n<=10^{10}i=1∑n​j=1∑n​(i,j) mod (1e9+7)n<=1010 题目分析 乍一看十分像裸莫比乌斯反演,然而nnn的范围让人望而却步 于是先变化一下式子 Ans=∑i=1n∑j=1n(i,j)Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(i,j)Ans=i=1∑n​j=1∑n​(i,j…

和bzoj 3944比较像,但是时间卡的更死 设\( f(n)=\sum_{d|n}\phi(d) g(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i) s(n)=\sum_{i=1}^{n}\phi(i) \),然后很显然对于mu\( g(n)=1\),对于\( g(n)=n*(n+1)/2 \),然后可以这样转化一下: \[ g(n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|n}\phi(d) \] \[ =\sum_{d=1}^{n}\phi(d)\left \lfloor \frac{n}…

来自FallDream的博客,未经允许,请勿转载,谢谢 --------------------------------------------- 给定n,求$S(n)=\sum_{i=1}^{n}\varphi(i)$  n<=$10^{10}$ 跟求莫比乌斯函数前缀和一样的做法,也可以推出$S(n)=\frac{n*(n+1)}{2}-\sum_{i=2}^{n}S(i)$,具体推法可以戳这里 另外,我们还可以从gcd入手. 数对$\left(x,y\right),x\leqslant y$…

题面 令d(n)d(n)d(n)表示nnn的约数之和求 ∑i=1n∑j=1nd(ij)\large\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nd(ij)i=1∑n​j=1∑n​d(ij) 题目分析 先给结论 d(ij)=∑x∣i∑y∣jxj/y[(x,y)==1]\large d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}xj/y[(x,y)==1]d(ij)=x∣i∑​y∣j∑​xj/y[(x,y)==1] 可以通过 传送门 类似的证明方法证明 拖更- AC code #includ…

题解 写完上一道就开始写这个,大体上就是代码改了改而已= = 好吧,再推一下式子! \(\sum_{i = 1}^{n}i = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{d | i}\phi(d) = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{d = 1}^{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor} \phi(d) = \sum_{i = 1}^{n}S(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor)\) \(S(n) = \frac{n(n + 1)}{2} -…

bzoj[2818]Gcd Description 给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对. Input 一个整数N Output 如题 Sample Input 4 Sample Output 4 HINT hint对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2) 1<=N<=10^7 题解一(自己yy) phi[i]表示与x互质的数的个数 即gcd(x,y)=1 1<=y<x ∴对于x,y 若a为素数 则gcd(xa,…

题意:给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对 1<=N<=10^7 思路:莫比乌斯反演,同BZOJ2820…… ; ..max]of int64; prime,flag,f,mu:..max]of longint; n,m,i,j,t,v,cas:longint; function clac(n:longint):int64; var x,i,pos:longint; begin clac:=; i:=; while i<=n do…

欧拉函数 定义 对于正整数n,欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目,记作φ(n). 算法思路 既然求解每个数的欧拉函数,都需要知道他的质因子,而不需要个数 因此,我们只需求出他的质因子,然后根据公式:N*(p1-1)/p1*(p2-1)/p2......即可 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; ll n; int main() { ll i,j; cin>>n; for(…

GCD Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 1567    Accepted Submission(s): 751 Problem Description The greatest common divisor GCD(a,b) of two positive integers a and b,sometimes writte…

题目链接 先看题目中给的函数f(n)和g(n) 对于f(n),若自然数对(x,y)满足 x+y=n,且gcd(x,y)=1,则这样的数对对数为f(n) 证明f(n)=phi(n) 设有命题 对任意自然数x满足x<n,gcd(x,n)=1等价于gcd(x,y)=1 成立,则该式显然成立,下面证明这个命题. 假设gcd(x,y)=1时,gcd(x,n)=k!=1,则n=n'k,x=x'k,gcd(x,y)=gcd(x,n-x)=gcd(x'k,(n'-x')k)=k,与假设gcd(x,y)=1不符,…