跟1244差不多. //由于(x+1)没有先mod一下一直WA三个点我... //由于(x+1)没有先mod一下一直WA三个点我... #include<cstdio> #include<cstring> #include<cctype> #include<algorithm> using namespace std; #define rep(i,s,t) for(ll i=s;i<=t;i++) #define dwn(i,s,t) for(ll i…

来自FallDream的博客,未经允许,请勿转载,谢谢 --------------------------------------------- 给定n,求$S(n)=\sum_{i=1}^{n}\varphi(i)$  n<=$10^{10}$ 跟求莫比乌斯函数前缀和一样的做法,也可以推出$S(n)=\frac{n*(n+1)}{2}-\sum_{i=2}^{n}S(i)$,具体推法可以戳这里 另外,我们还可以从gcd入手. 数对$\left(x,y\right),x\leqslant y$…

求$\sum_{i=1}^{n}\varphi (i)$,$n\leqslant 1e10$. 这里先把杜教筛的一般套路贴一下: 要求$S(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)$,而现在有一数论函数$g(i)$,$g(i)$的前缀和很无脑,且$f$和$g$的狄利克雷卷积的前缀和很无脑(太巧了吧..),那么由 $\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}f(d)g(\frac{i}{d})$ 闪一句,常用套路:设$i=kd$,转而枚举$k$. $=\sum_{k=1}^{n}g(k)\…

题面 传送门 题解 话说--就一个杜教筛--刚才那道拿过来改几行就行了-- //minamoto #include<bits/stdc++.h> #define R register #define ll long long #define IT map<ll,int>::iterator #define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i) #define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--…

1239 欧拉函数之和 基准时间限制:3 秒 空间限制:131072 KB 分值: 320 难度:7级算法题 收藏 关注 对正整数n,欧拉函数是小于或等于n的数中与n互质的数的数目.此函数以其首名研究者欧拉命名,它又称为Euler's totient function.φ函数.欧拉商数等.例如:φ(8) = 4(Phi(8) = 4),因为1,3,5,7均和8互质. S(n) = Phi(1) + Phi(2) + -- Phi(n),给出n,求S(n),例如:n = 5,S(n) = 1 +…

[51Nod 1244] - 莫比乌斯函数之和 求∑i=1Nμ(i)\sum_{i=1}^Nμ(i)∑i=1N​μ(i) 开推 ∑d∣nμ(d)=[n==1]\sum_{d|n}\mu(d)=[n==1]d∣n∑​μ(d)=[n==1] 移项 μ(d)=[n==1]−∑d∣n,d<nμ(d)∴S(N)=∑i=1Nμ(i)=∑i=1N([i==1]−∑d∣i,d<iμ(d))=1−∑i=1N∑d∣i,d<iμ(d)\mu(d)=[n==1]-\sum_{d|n,d<n}\mu(d)\…

题目链接: 1239:http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1239 1244:http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1244 杜教筛裸题,不过现在我也只会筛这俩前缀和... $$s(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i)$$ 那么就有: $$\sum_{i=1}^{n}f(i)\lfloor \frac{n}{i} \…

[题目链接] https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1239 [题目大意] 计算欧拉函数的前缀和 [题解] 我们知道积性函数∑(phi(d))=n(d|n) 所以∑∑(miu(d))=n*(n+1)/2(d|i){i=1}^{n} 因此我们得到F(n)=n*(n+1)/2-∑F(n/d){d=2}^{n} 同时用hash记忆化phi函数的前缀和 [代码] #include <cstdio> #include…

对正整数n,欧拉函数是小于或等于n的数中与n互质的数的数目.此函数以其首名研究者欧拉命名,它又称为Euler's totient function.φ函数.欧拉商数等.例如:φ(8) = 4(Phi(8) = 4),因为1,3,5,7均和8互质.   S(n) = Phi(1) + Phi(2) + ...... Phi(n),给出n,求S(n),例如:n = 5,S(n) = 1 + 1 + 2 + 2 + 4 = 10,定义Phi(1) = 1.由于结果很大,输出Mod 1000000007…

http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1239 还是模板题. 杜教筛:\[S(n)=\frac{n(n+1)}{2}-\sum_{i=2}^nS\left(\left\lfloor\frac ni\right\rfloor\right)\] 基于质因子分解的筛法:详见2016年论文<积性函数求和的几种方法>(讲得很详细的~~~) 为什么我写的洲哥筛常熟巨大QAQ 杜教筛\(O\left(n^{\frac 23…

[题意]给定n,求Σφ(i),n<=10^10. [算法]杜教筛 [题解] 定义$s(n)=\sum_{i=1}^{n}\varphi(i)$ 杜教筛$\sum_{i=1}^{n}(\varphi *I)(i)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\varphi(d)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d=1}^{\frac{n}{i}}\varphi(d)$ 根据$id=\varphi*I$,$\sum_{i=1}^{n}(\varphi*I)(i)=\frac{i(i+1)…

题解 写完上一道就开始写这个,大体上就是代码改了改而已= = 好吧,再推一下式子! \(\sum_{i = 1}^{n}i = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{d | i}\phi(d) = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{d = 1}^{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor} \phi(d) = \sum_{i = 1}^{n}S(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor)\) \(S(n) = \frac{n(n + 1)}{2} -…

和上一题差不多,一个是μ*I=e,一个是φ*I=Id 稍改就得到了这题的代码 (我会告诉你我一开始逆元算错了吗) #include <bits/stdc++.h> #define MAX 5000000 #define MOD 1000000007 using namespace std; long long a,b,N; ],p[MAX],ans[MAX]; ]; long long work(long long n) { if(n<=MAX) return phi[n]; if(an…

和bzoj 3944比较像,但是时间卡的更死 设\( f(n)=\sum_{d|n}\phi(d) g(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i) s(n)=\sum_{i=1}^{n}\phi(i) \),然后很显然对于mu\( g(n)=1\),对于\( g(n)=n*(n+1)/2 \),然后可以这样转化一下: \[ g(n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|n}\phi(d) \] \[ =\sum_{d=1}^{n}\phi(d)\left \lfloor \frac{n}…

GCD Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 1567    Accepted Submission(s): 751 Problem Description The greatest common divisor GCD(a,b) of two positive integers a and b,sometimes writte…

题目链接 先看题目中给的函数f(n)和g(n) 对于f(n),若自然数对(x,y)满足 x+y=n,且gcd(x,y)=1,则这样的数对对数为f(n) 证明f(n)=phi(n) 设有命题 对任意自然数x满足x<n,gcd(x,n)=1等价于gcd(x,y)=1 成立,则该式显然成立,下面证明这个命题. 假设gcd(x,y)=1时,gcd(x,n)=k!=1,则n=n'k,x=x'k,gcd(x,y)=gcd(x,n-x)=gcd(x'k,(n'-x')k)=k,与假设gcd(x,y)=1不符,…

题目描述 作为体育委员,C君负责这次运动会仪仗队的训练.仪仗队是由学生组成的N * N的方阵,为了保证队伍在行进中整齐划一,C君会跟在仪仗队的左后方,根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如右图). 现在,C君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数. 输入输出格式 输入格式: 共一个数N 输出格式: 共一个数,即C君应看到的学生人数. 输入输出样例 输入样例#1: 4 输出样例#1: 9 说明 [数据规模和约定] 对于 100% 的数据,1 ≤ N ≤ 40000 题解 首先,我们很容易发…

题目链接:传送门 思路:欧拉函数的性质:前n个数的欧拉函数之和为φ(n)*n/2,由此求出结果. 参考文章:传送门 #include<iostream> #include<cmath> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; typedef long long LL; ; LL POW(LL a,LL b) { LL ans=; while(b) { ) ans=ans*a%MOD; a…

bzoj[2818]Gcd Description 给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对. Input 一个整数N Output 如题 Sample Input 4 Sample Output 4 HINT hint对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2) 1<=N<=10^7 题解一(自己yy) phi[i]表示与x互质的数的个数 即gcd(x,y)=1 1<=y<x ∴对于x,y 若a为素数 则gcd(xa,…

题意:给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对 1<=N<=10^7 思路:莫比乌斯反演,同BZOJ2820…… ; ..max]of int64; prime,flag,f,mu:..max]of longint; n,m,i,j,t,v,cas:longint; function clac(n:longint):int64; var x,i,pos:longint; begin clac:=; i:=; while i<=n do…

题目链接:https://vjudge.net/problem/POJ-2478 题意:给定n,输出集合中元素的数量,集合中的元素为最简小于1的分数,分子分母均属于[1,n-1]. 思路:理清题意后就是输入n,输出[1,n]区间所有数的欧拉函数之和.要注意结果会超出int范围. AC代码: #include<cstdio> using namespace std; typedef long long LL; ; int eu[maxn],n; LL sum[maxn]; void eular(…

题目链接 先看题目中给的函数f(n)和g(n) 对于f(n),若自然数对(x,y)满足 x+y=n,且gcd(x,y)=1,则这样的数对对数为f(n) 证明f(n)=phi(n) 设有命题 对任意自然数x满足x<n,gcd(x,n)=1等价于gcd(x,y)=1 成立,则该式显然成立,下面证明这个命题. 假设gcd(x,y)=1时,gcd(x,n)=k!=1,则n=n'k,x=x'k,gcd(x,y)=gcd(x,n-x)=gcd(x'k,(n'-x')k)=k,与假设gcd(x,y)=1不符,…

Description 栋栋有一块长方形的地,他在地上种了一种能量植物,这种植物可以采集太阳光的能量.在这些植物采集能量后, 栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起. 栋栋的植物种得非常整齐,一共有n列,每列 有m棵,植物的横竖间距都一样,因此对于每一棵植物,栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示,其中x的范围是1至n, 表示是在第x列,y的范围是1至m,表示是在第x列的第y棵. 由于能量汇集机器较大,不便移动,栋栋将它放在了 一个角上,坐标正好是(0, 0). 能量汇集机器在…

欧拉函数 定义 对于正整数n,欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目,记作φ(n). 算法思路 既然求解每个数的欧拉函数,都需要知道他的质因子,而不需要个数 因此,我们只需求出他的质因子,然后根据公式:N*(p1-1)/p1*(p2-1)/p2......即可 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; ll n; int main() { ll i,j; cin>>n; for(…

题目:戳这里 题意:要求构成有n个点,m条边的无向图,满足每条边上的两点互质. 解题思路: 显然1~n这n个点能构成边的条数,就是2~n欧拉函数之和(x的欧拉函数值代表小于x且与x互质的数的个数. 因此m>n-1 && m <= sum成立则可以构成无向图. 接着求出1e5以内的欧拉函数,求和可以发现前1000项的欧拉值就已经远远大于1e5. 所以m条边直接两层循环暴力即可. 附本人代码: 1 #include <bits/stdc++.h> 2 typedef l…

1040 最大公约数之和 题目来源: rihkddd 基准时间限制:1 秒 空间限制:131072 KB 分值: 80 难度:5级算法题   给出一个n,求1-n这n个数,同n的最大公约数的和.比如:n = 6 1,2,3,4,5,6 同6的最大公约数分别为1,2,3,2,1,6,加在一起 = 15   Input 1个数N(N <= 10^9) Output 公约数之和 Input示例 6 Output示例 15 /* 51nod 1040 最大公约数之和(欧拉函数) 给你n,然后求[1-n]…

1040 最大公约数之和 给出一个n,求1-n这n个数,同n的最大公约数的和.比如:n = 6时,1,2,3,4,5,6 同6的最大公约数分别为1,2,3,2,1,6,加在一起 = 15 看起来很简单对吧,但是n<=1e9,所以暴力是不行的,所以要把公式进行推导. 引用51nod1040最大公约数之和(欧拉函数) 这个自己上手推一下也很好推的,不过没推过公式的可能不太懂. #include<cstdio> #include<cmath> typedef long long l…

题意: 求sum{gcd(i, j) | 1 ≤ i < j ≤ n} 分析: 有这样一个很有用的结论:gcd(x, n) = i的充要条件是gcd(x/i, n/i) = 1,因此满足条件的x有phi(n/i)个,其中Phi为欧拉函数. 所以枚举i和i的倍数n,累加i * phi(n/i)即可. #include <cstdio> typedef long long LL; ; ]; LL f[maxn + ]; void phi_table() { phi[] = ; ; i <…

题面 传送门 题解 拿到式子的第一步就是推倒 \[ \begin{align} \sum_{i=1}^nlcm(n,i) &=\sum_{i=1}^n\frac{in}{\gcd(i,n)}\\ &=n\sum_{i=1}^n\frac{i}{\gcd(n,i)}\\ &=n\sum_{d|n}\sum_{i=1}^n \frac{i}{d}[\gcd(n,i)=d]\\ &=n\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}} i[\gcd(i,\fra…

用mu写lcm那道卡常卡成狗(然而最后也没卡过去,于是写一下gcd冷静一下 首先推一下式子 \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}gcd(i,j) \] \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{d=1}^{n}[gcd(i,j)==d]d \] \[ \sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)==d] \] \[ \sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{\left…