Motivation: Given a 1D array of n elements. [2, 5, -1, 3, 6] range sum query: what's the sum from 2nd element to 4th element query(2, 4)? 5 + (-1) + 3 = 7 Native implementation: O(n) per query. Use DP to pre-compute the prefix sums in O(n), [2, 5, -1…

Binary Indexed Tree 主要是为了存储数组前缀或或后缀和,以便计算任意一段的和.其优势在于可以常数时间处理更新(如果不需要更新直接用一个数组存储所有前缀/后缀和即可).空间复杂度O(n). 其中每个元素,存储的是数组中一段(起始元素看作为1而非0)的和: 假设这个元素下标为i,找到i的最低位1,从最低位1开始的低部表示的是长度,去除最低位1剩下的部分加上1表示的是起始位置,例如: 8二进制表示为100 最低位1也是最高位,从1开始的低部也即100本身,因此长度为8. 去除1以后,…

我借鉴了这个视频中的讲解的填坑法,我认为非常易于理解.有FQ能力和基本英语听力能力请直接去看视频,并不需要继续阅读. naive 算法 考虑一个这样的场景: 给定一个int数组, 我们想知道它的连续子序列的累加和.比如这个数组长度为N, 求数组中下标0~N-1, 2~3, 0~N/2的和. 如果直接计算,易知在平均情况下,我们给出一个N长度数组的子序列累加和都需要~N的数组访问次数和相加操作. 如果用最少的计算时间给出结果? 我们容易想到设一个记录累加和的数组(不考虑可能的溢出情况): 比如数组…

Given a 2D matrix matrix, find the sum of the elements inside the rectangle defined by its upper left corner (row1, col1) and lower right corner (row2, col2). Range Sum Query 2D The above rectangle (with the red border) is defined by (row1, col1) = (…

题目:http://community.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=13275&rd=16008 由于图中边数不多,选择DFS遍历全部路径,计算路径Inversions时使用了一个R[] 数组,能够在O(N)时间内得到路径Inversions,又由于该图所以路径条数为O(N^2),算法复杂度为O(N^3),对于N为1000的限制来说,复杂度较高,但实际測试中,最慢的測试用例费时700多ms,没有超时.若要减小复杂度,须要更高效的算法来计…

树状数组(Binary Indexed Tree) 前面几篇文章我们分享的都是关于区间求和问题的几种解决方案,同时也介绍了线段树这样的数据结构,我们从中可以体会到合理解决方案带来的便利,对于大部分区间问题,线段树都有其绝对的优势,今天这篇文章,我们就来欣赏由线段树变形的另外一个数据结构--树状数组,树状数组通常也用于解决区间求和.单点更新的问题,而且效率比线段树高一些(树状数组区间求和和单点更新的时间复杂度均为o(log n)),相对而言,线段树的应用范围可能更广泛一些.但不得不承认,树状数组确…

Hdu5921 Binary Indexed Tree 思路 计数问题,题目重点在于二进制下1的次数的统计,很多题解用了数位DP来辅助计算,定义g(i)表示i的二进制中1的个数, $ans = \sum_{i=1}^n \sum_{j=0}^{i-1} g(i,j) = 0.5\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n[g(i)+g(j)-2g(lcp(i,j))] $ 即先计算每个位的贡献,再减去重复的地方. 先计算前者,每个数会出现n+1 次,所以结果乘以n+1 即可,对第i位,统计这…

特点 1. 针对 数组连续子序列累加和 问题(需要进行频繁的 update.sum 操作): 2. 并非是树型结构,只是逻辑上层次分明: 3. 可以通过 填坑法 来理解: 4. 中心思想:每一个整数都可以由几个 二进制指数的相加和 来进行唯一表示. 中心思想 每一个整数都可以由几个二进制指数的相加和唯一表示: 11 = 2^3 + 2^1 + 2^0 01011 = 01000 + 00010 + 00001 //二进制表示 在Binary Indexed Tree 中,上述的思想应用体现在:…

树状数组(Binary Indexed Tree,BIT) 是能够完成下述操作的数据结构. 给一个初始值全为 0 的数列 a1, a2, ..., an (1)给定 i,计算 a1+a2+...+ai (2)给定 i 和 x,执行 ai += x 1.基于线段树的实现 如果使用线段树,只需要做少许修改就可以实现这两个功能.线段树的每个节点上维护的是对应区间的和. 接下来看如何计算从 s 到 t 的和(as + as+1 + ... + at).在基于线段树的实现这个和是可以直接求得的. 但是如果…

Binary Tree: 0到2个子节点; Binary Search Tree: 所有左边的子节点 < node自身 < 所有右边的子节点: 1. Full类型: 除最下面一层外, 每一层都有两个子节点: 2. Complete类型: 除最下面一层外为Full类型, 但是最下面一层最所有子节点靠左: 3. Balanced类型: 左右两个子树的长度相差小于等于一: /** * Definition of TreeNode: * public class TreeNode { * public…

2018-03-25 17:29:29 树状数组是一个比较小众的数据结构,主要应用领域是快速的对mutable array进行区间求和. 对于一般的一维情况下的区间和问题,一般有以下两种解法: 1)DP 预处理:建立长度为n的数组,每个结点i保存前i个数的和,时间复杂度O(n). 查询:直接从数组中取两个段相减,时间复杂度O(1). 更新:这种方法比较适用与immutable数组,对于mutable数组的更新需要重新建立表,所以时间复杂度为O(n). 2)树状数组 BIT 预处理:建立树状数组,…

#include <cstdio> #include <cstdlib> #include <climits> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; int map[1015][1015]; void update(int x,int y, int n) { for(int i=x;i<=1005;i+=(i&(-i))) { for(int j=y…

#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> using namespace std; int n, m; int num[100005]; int front(int x) { return x&(-x); } int update(int x,int k) { while(x<=n) { num[x]+=k; x+=front(x); } return 1; } int sum(int x)…

#include <iostream> #include <cstdlib> using namespace std; class BinaryIndexedTree { private: int *mem; int capacity; public: BinaryIndexedTree (int n) { ) { capacity = ; return; } capacity = n; mem = ]; ; i<=capacity; i++) mem[i] = ; } ~B…

1.“树状数组”数据结构的一种应用 对含有n个元素的数组(a[1],...,a[k],...,a[n]): (1)求出第i个到第j个元素的和,sum=a[i]+...+a[j]. 进行j-i+1次加法,复杂度为O(j-i+1) (2)任意修改其中某个元素的值. 使用数组下标可以直接定位修改,时间复杂度为O(1) 对于同时支持上述两种操作的系统中,求和操作(1)求任意连续个数组元素和的平均时间复杂度为O(n),修改操作(2)时间复杂度是O(1).如果系统中大量进行上述两种操作m次,其中执行操作(1…

先不说别的,这个博客为我学习树状数组提供了很大帮助,奉上传送门 http://blog.csdn.net/int64ago/article/details/7429868 然后就说几个常用的操作 inline int lowbit(int x) { return x&(-x); } int read(int x) { ; while(x) { sum+=bit[x]; x-=lowbit(x); } return sum; } void add(int x,int num) { while(x&l…

场景:快速得到一段数组元素的和 题目:Insertion Sort Advanced Analysis | HackerRank 算法:binary-indexed-tree :: HackerRank 实现:binary-indexed-tree :: HackerRank 已经给出基本的实现了 // get cumulative sum up to and including i int Get(int i) { int res = 0; while(i) { res += B[i]; i…

0 引言 Leetcode307 这道题给一个可变数组,求从\(i\)到\(j\)的元素之和. 一个naive的做法是,每次查询都从\(i\)累加到\(j\): class NumArray { public: NumArray(vector<int>& nums) { nums_ = nums; } void update(int i, int val) { nums_[i] = val; } int sumRange(int i, int j) { int ans = 0; for…

Binary Indexed Tree(Fenwick tree): 是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构.主要用于查询任意两位之间的所有元素之和,但是每次只能修改一个元素的值:经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改,但是这时只能查询其中一个元素的值(如果加入多个辅助数组则可以实现区间修改与区间查询) 原理: 树状数组是不需要建树的,通过lowbit来建立一个sum数组(此处为c数组)来维护原来的数组 Lowbit讲解: c[i]=sum(a[j])  i - lowb…

1.二叉搜索树:去一个陌生的城市问路到目的地: for each node, all elements in its left subtree are less-or-equal to the node (<=), and all the elements in its right subtree are greater than the node (>). 给予一个已经排序好的整数数组, 生成一个相对合理的二叉搜索树.(?相对合理的?) 给予一个二叉树的根节点,验证该树是否是二叉树搜索树,(…

二叉树(Binary Tree)是最简单的树形数据结构,然而却十分精妙.其衍生出各种算法,以致于占据了数据结构的半壁江山.STL中大名顶顶的关联容器--集合(set).映射(map)便是使用二叉树实现.由于篇幅有限,此处仅作一般介绍(如果想要完全了解二叉树以及其衍生出的各种算法,恐怕要写8~10篇). 1)二叉树(Binary Tree) 顾名思义,就是一个节点分出两个节点,称其为左右子节点:每个子节点又可以分出两个子节点,这样递归分叉,其形状很像一颗倒着的树.二叉树限制了每个节点最多有两个子节…

题目链接:Recover Binary Search Tree | LeetCode OJ Two elements of a binary search tree (BST) are swapped by mistake. Recover the tree without changing its structure. Note: A solution using O(n) space is pretty straight forward. Could you devise a constan…

题目链接:Validate Binary Search Tree | LeetCode OJ Given a binary tree, determine if it is a valid binary search tree (BST). Assume a BST is defined as follows: The left subtree of a node contains only nodes with keys less than the node's key. The right…

Sept. 22, 2015 学一道算法题, 经常回顾一下. 第二次重温, 决定增加一些图片, 帮助自己记忆. 在网上找他人的资料, 不如自己动手. 把从底向上树的算法搞通俗一些. 先做一个例子: 9/22/2015 Go over one example to build some muscle memory about this bottom up, O(1) solution to find the root node in subtree function. Sorted List: 1…

Given a non-empty binary search tree and a target value, find k values in the BST that are closest to the target. Note: Given target value is a floating point. You may assume k is always valid, that is: k ≤ total nodes. You are guaranteed to have onl…

Given a non-empty binary search tree and a target value, find the value in the BST that is closest to the target. Note: Given target value is a floating point. You are guaranteed to have only one unique value in the BST that is closest to the target.…

Given an array of numbers, verify whether it is the correct preorder traversal sequence of a binary search tree. You may assume each number in the sequence is unique. Follow up: Could you do it using only constant space complexity? 这道题让给了我们一个一维数组,让我们…

Given a binary search tree (BST), find the lowest common ancestor (LCA) of two given nodes in the BST. According to the definition of LCA on Wikipedia: “The lowest common ancestor is defined between two nodes v and w as the lowest node in T that has…

Implement an iterator over a binary search tree (BST). Your iterator will be initialized with the root node of a BST. Calling next() will return the next smallest number in the BST. Note: next() and hasNext() should run in average O(1) time and uses…

Given a singly linked list where elements are sorted in ascending order, convert it to a height balanced BST. 这道题是要求把有序链表转为二叉搜索树,和之前那道Convert Sorted Array to Binary Search Tree 将有序数组转为二叉搜索树思路完全一样,只不过是操作的数据类型有所差别,一个是数组,一个是链表.数组方便就方便在可以通过index直接访问任意一个元…