Gershgorin圆盘定理

众所周知,对一个$n$阶方阵求取特征值需要解一个一元$n$次方程,当$n$很大时,这是很难实现的.但是,在有些涉及矩阵的实际问题中,我们并不需要知道矩阵特征值的准确值,而只需要知道其大概范围就行了,例如判定一个线性系统最终是否会趋于稳定时,只需要看其特征方程的所有特征根是否均有负实部,即所有的特征根是否均落在$x$轴负半轴上就行了:判定一个$n$阶方阵是否半正定,只需要考察其所有特征值是否均非负,类似的例子还有很多,就不一一赘述了.那么对于这类问题,我们迫切地需要这样一个工具,相比于解$n$次的…

Gersgorin 圆盘

将学习到什么好多. Gersgorin 圆盘定理对任何 $A \in M_n$,我们总可以记 $A=D+B$,其中 $D=\mathrm{diag}(a_{11},\cdots,a_{nn})$ 集中展现了 $A$ 的主对角线,而 $B=A-D$ 的主对角线为零. 如果我们令 $A_{\varepsilon} = D+\varepsilon B$,那么 $A_0=D$ 且 $A_1=A$. $A_0=D$ 的特征值容易确定. 我们知道,如果 \(\…

随机矩阵（stochastic matrix）

最近一个月来一直在看Google排序的核心算法---PageRank排序算法[1][2],在多篇论文中涉及到图论.马尔可夫链的相关性质说明与应用[3][4][5],而最为关键,一直让我迷惑的一句话是"A stochastic matrix has principal/primary eigenvalue 1"[3][4][5][6][7][8].可能对于系统学习过矩阵理论的人,它很平淡,不值得单独拿出来讨论或者说明.而我在此不得不承认自己的无知.尽管在高等代数中学习过关于矩…

压缩感知——SP（subspace pursuit）重构算法前言翻译

压缩感知是一种採样方法,它和变换编码类似,后者被广泛用于涉及到大规模数据採样的现代通信系统中.变换编码将高维空间中的输入信号.转换成很低的低维空间中的信号.变换编码器的样例有著名的小波变换和普遍存在的傅立叶变换. 压缩感知技术将变换编码成功的用于可压缩信号或者是稀疏信号.将一个K稀疏N维离散时间信号x进行编码.是通过计算一个m维的測量向量y来完毕的,y是x的线性投影.这能够通过下式进行简洁表示:y=Phi*x.在这里,Phi代表一个m*N的矩阵,一般是在实数领域中.在这个框架中,投影基被如果成是…

[组合数学] 圆排列和欧拉函数为啥有关系：都是polya定理的锅

本文是一个笨比学习组合数学的学习笔记,因为是笨比,所以写的应该算是很通俗易懂了. 首先,我们考虑这么一个问题:你有无穷多的$p$种颜色的珠子,现在你想要的把他们中的$n$个以圆形的形状等间距的黏在一个可以旋转的圆盘上,求方案数. 然后,该问题的答案是 $\frac{1}{n}\Sigma_{d|n}\phi(\frac{n}{d})p^d$ ,之中$\phi()$表示欧拉函数,下面解释一下为什么会出现这样一个数论函数. 首先,我们来复习一下polya定理:设一个序列上定义了一置换…

【HDU 3037】Saving Beans Lucas定理模板

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3037 Lucas定理模板. 现在才写,noip滚粗前兆QAQ #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; int jc[100003]; int p; int ipow(int x, int b) { ll t = 1, w = x;…

Mittag-Leffler定理,Weierstrass因子分解定理和插值定理

Mittag-Leffler定理设$D\subset\mathbb C$为区域,而$\{a_{n}\}$为$D$中互不相同且无极限点的点列,那么对于任意给定的一列自然数$\{k_{n}\}$,定义函数$$\psi_{n}(z)=\sum_{j=1}^{k_{n}}\frac{c_{n,j}}{(z-a_{n})^j},n\in\mathbb N$$ 则必存在$D$上的亚纯函数$f(z)$使得$f$以$\{a_{n}\}$为其极点集,且在每个$a_{n}$附近的Laurent展开式的主要部…

【转】Polya定理

转自:http://endlesscount.blog.163.com/blog/static/82119787201221324524202/ Polya定理首先记Sn为有前n个正整数组成的集合,G为Sn的置换群,C为Sn的着色集.那么我们等于是要求C中有多少种着色方案是不等价的.定义两种着色等价的概念:如果对于在C中的两种着色c1.c2,存在置换f使得f*c1=c2,那么c1和c2就是等价的.要想求不等价着色的个数,我们要先证明一个定理,即: Burnside定理:设G(c…

hdu 4704 Sum （整数和分解+快速幂+费马小定理降幂）

题意: 给n(1<n<),求(s1+s2+s3+...+sn)mod(1e9+7).其中si表示n由i个数相加而成的种数,如n=4,则s1=1,s2=3. (全题文末) 知识点: 整数n有种和分解方法. 费马小定理:p是质数,若p不能整除a,则 a^(p-1) ≡1(mod p).可利用费马小定理降素数幂. 当m为素数,(m必须是素数才能用费马小定理) a=2时.(a=2只是题中条件,a可以为其他值) mod m = * // k=…

poj1006Biorhythms(同余定理)

转自:http://blog.csdn.net/dongfengkuayue/article/details/6461298 本文转自head for better博客,版权归其所有,代码系本人自己编写问题描述人自出生起就有体力,情感和智力三个生理周期,分别为23,28和33天.一个周期内有一天为峰值,在这一天, 人在对应的方面(体力,情感或智力)表现最好.通常这三个周期的峰值不会是同一天. 现在给出三个日期,分别对应于体力,情感,智力出现峰值的日期.然后再给出一个起始日期, 要求…

CF451E Devu and Flowers （隔板法容斥原理 Lucas定理求逆元）

Codeforces Round #258 (Div. 2) Devu and Flowers E. Devu and Flowers time limit per test 4 seconds memory limit per test 256 megabytes input standard input output standard output Devu wants to decorate his garden with flowers. He has purchased n boxes…

大组合数：Lucas定理

最近碰到一题,问你求mod (p1*p2*p3*……*pl) ,其中n和m数据范围是1~1e18 , l ≤10 , pi ≤ 1e5为不同的质数,并保证M=p1*p2*p3*……*pl ≤ 1e18 . 要解决这个问题首先需要Lucas定理或者 C!解法. Lucas定理: 我们令n=sp+q , m=tp+r . q , r ≤ p 那么,然后你只要继续对调用Lucas定理即可. 代码可以递归的去完成这个过程,其中递归终点为t = 0 : 伪代码,时间O(logp(n)*p): int L…

单位圆盘的全纯自同构群Aut B(0,1)

利用Schwarz引理可以求出单位圆盘$B(0,1)$的全纯自同构群${\rm Aut}B(0,1)$. 任取$a\in B(0,1)$,记$$\varphi_{a}(z)=\frac{a-z}{1-\overline{a}z}$$ 显然这个分式线性变换$\varphi_{a}\in{\rm Aut}B(0,1)$且$\varphi_{a}^{-1}=\varphi_{a}$.任取$f\in{\rm Aut}B(0,1)$,令$g=f\circ\varphi_{a}$,显然$g(0)=0$且$g…

SPOJ HIGH Highways ——Matrix-Tree定理高斯消元

[题目分析] Matrix-Tree定理+高斯消元求矩阵行列式的值,就可以得到生成树的个数. 至于证明,可以去看Vflea King(炸树狂魔)的博客 [代码] #include <cmath> #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define eps 1e-8 #define ma…

洛谷 P2735 电网 Electric Fences Label：计算几何--皮克定理

题目描述在本题中,格点是指横纵坐标皆为整数的点. 为了圈养他的牛,农夫约翰(Farmer John)建造了一个三角形的电网.他从原点(0,0)牵出一根通电的电线,连接格点(n,m)(0<=n<32000,0<m<32000),再连接格点(p,0)(p>0),最后回到原点. 牛可以在不碰到电网的情况下被放到电网内部的每一个格点上(十分瘦的牛).如果一个格点碰到了电网,牛绝对不可以被放到该格点之上(或许Farmer John会有一些收获).那么有多少头牛可以被放到农夫约翰的电网…

HDU5795A Simple Nim SG定理

A Simple Nim Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others)Total Submission(s): 980 Accepted Submission(s): 573 Problem Description Two players take turns picking candies from n heaps,the player who picks the l…

【C语言训练】尼科彻斯定理

题目描述验证尼科彻斯定理,即:任何一个正整数的立方都可以写成一串连续奇数的和. 输入任一正整数输出该数的立方分解为一串连续奇数的和样例输入13样例输出13*13*13=2197=157+159+161+163+165+167+169+171+173+175+177+179+181提示本题是一个定理,我们先来证明它是成立的. 对于任一正整数a,不论a是奇数还是偶数,整数(a×a-a+1)必然为奇数. 构造一个等差数列,数列的首项为(a×a-a+1),等差数列的差值为2(奇数数列),则前a项的和…

【计算几何】bzoj1043 [HAOI2008]下落的圆盘

n^2枚举圆盘,用两圆圆心的向量的极角+余弦定理求某个圆覆盖了该圆的哪一段区间(用弧度表示),最后求个区间并. 注意--精度--最好再累计区间的时候,把每个区间的长度减去EPS,防止最后覆盖的总区间超过2PI一点点,使答案为负. #include<cstdio> #include<cmath> #include<algorithm> using namespace std; #define EPS 0.000000001 #define INF 1000000.0 in…

CAP定理

from wikipedia CAP定理 CAP定理(CAP theorem),又被称作布鲁尔定理(Brewer's theorem),它指出对于一个分布式计算系统来说,不可能同时满足以下三点: 一致性(Consistency) 可用性(Availability) 容忍网络分区(Partition tolerance) 根据定理,分布式系统只能满足三项中的两项而不可能满足全部三项. 理解CAP理论的最简单方式是想象两个节点分处分区两侧.允许至少一个节点更新状态会导致数据不一致,即丧失了C性质.如…