题目分析 来自2013年王迪的论文<浅谈容斥原理> 设\(f_{n,S}\)表示n个节点,入度为0的点集恰好为S的方案数. 设\(g_{n,S}\)表示n个节点,入度为0的点集至少为S的方案数. 对于\(g_{n,S}\),有递推式 \[ g_{n,S}=2^{|S|(n-|S|)}g_{n-|S|,\emptyset} \] f与g有如下关系 \[ g_{n,S}=\sum_{S\subseteq T}f_{n,T} \] 子集反演一下 \[ f_{n,S}=\sum_{S\subseteq…

题意:求n个点有向图其中SCC是一个的方案数 考虑求出若干个不连通的每个连通块都是SCC方案数然后再怎么做一做.(但是这里不能用Ln,因为推不出来) 设$f_n$为答案, $g_n$为n个点的有向图,分成若干个连通块,每个连通块都是一个SCC,且当连通块大小为奇数时候贡献1系数,偶数时候贡献-1系数.(这里把系数放进去可以避免再来一个函数的麻烦!) $h_n$表示n个点有向图个数$h_n=2^{n*(n-1)}$ $h_n=\sum_{i=1}^nC(n,i)\times g(i)\times…

不用连通 枚举入度为0的一层 卷积 发现有式子: 由$n^2-i^2-(n-i)^2=2*i*(n-i)$ 可得$2^{i*(n-i)}=\frac{{\sqrt 2}^{(n^2)}}{{\sqrt 2}^{(i^2)}*{\sqrt 2}^{(n-i)^2}}$ 设$g(n)={\sqrt 2}^{(n^2)}$ 则,$2^{i*(n-i)}=\frac{g(n)}{g(i)*g(n-i)}$ 指数相乘变成指数相加减,把$g(n)$除过去即可 连通 弱联通:变成无向边是连通的 f(n)表示n…

题面 题目描述 给定一正整数n,对n个点有标号的有向无环图(可以不连通)进行计数,输出答案mod 998244353的结果 输入格式 一个正整数n 输出格式 一个数,表示答案 样例输入 3 样例输出 25 数据范围和约定 对于第i个点 1<=n<=10000*i 增大了数据范围. 题目分析 COGS2353 [HZOI2015]有标号的DAG计数 I升级版. 在这道题的基础上继续往下化: \[ \begin{split} f(n)&=\sum_{i=1}^n\frac {n!}{(n-…

题目分析 n个点的二分染色图计数 很显然的一个式子 \[ \sum_{i=0}^n\binom{n}{i}2^{i(n-i)} \] 很容易把\(2^{i(n-i)}\)拆成卷积形式,前面讲过,不再赘述. n个点的二分图计数 设\(f_n\)表示n个点的二分染色图个数. 设\(g_n\)表示n个点的二分连通图个数. 设\(h_n\)表示n个点的二分图个数. 分别构造f,g,h的EGF\(F,G,H\). 显然有 \[ \begin{aligned} F&=\sum_i(2*G)^i=e^{2G}…

Description 给定一正整数n,对n个点有标号的有向无环图(可以不连通)进行计数,输出答案mod 998244353的结果 Solution 考虑 \(O(n^2)\) DP 枚举出度为 \(0\) 的点,构成的新\(DAG\)方案数为 \(f[i]=f[i-1]*C_{n}^{1}*2^{n-1}\) 即从 \(n\) 个点中选出一个点,作为出度为 \(0\) 的点,然后剩下 \(n-1\) 个点向这个点任意连边 但是 \(f[i-1]\) 中也会有出度为 \(0\) 的点,那么就算重…

[HZOI 2015] 有标号的DAG计数 II \(I\)中DP只有一个数组, \[ dp_i=\sum{i\choose j}2^{j(i-j)}dp_{i-j}(-1)^{j+1} \] 不会... 傻啊直接多项式球逆,借鉴一些luogu那道模板分治FFT 这里主要有个很烦人的\(ji-j^2\),现在要构造成\(j,i-j,i\)的的形式就好了,神tst告诉我们 \[ ij = \binom{i}{2} + \binom{j+1}{2} - \binom{i-j}{2}=\dfrac {…

[HZOI 2015] 有标号的DAG计数 IV 我们已经知道了\(f_i\)表示不一定需要联通的\(i\)节点的dag方案,考虑合并 参考[题解]P4841 城市规划(指数型母函数+多项式Ln),然后答案\(h_i\)母函数\(H(x)\)就这样解 由于 \[ H(x)=\sum_{i=0}^{\inf} \dfrac {(F(x))^i} {i!} \] 则 \[ H(x)=e^{F(x)} \] 球\(\ln\)就好了 //@winlere #include<iostream> #inc…

[HZOI 2015] 有标号的DAG计数 III 我们已经知道了\(f_i\)表示不一定需要联通的\(i\)节点的dag方案,考虑合并 参考[题解]P4841 城市规划(指数型母函数+多项式Ln),然后答案\(h_i\)母函数\(H(x)\)就这样解 由于 \[ H(x)=\sum_{i=0}^{\inf} \dfrac {(F(x))^i} {i!} \] 则 \[ H(x)=e^{F(x)} \] 球\(\ln\)就是IV,不求的话可以直接手动模拟\(F(x)^i/i!\) //@winl…

[HZOI 2015] 有标号的DAG计数 I 设\(f_i\)为\(i\)个点时的DAG图,(不必联通) 考虑如何转移,由于一个DAG必然有至少一个出度为\(0\)的点,所以我们钦定多少个出度为\(0\)的点转移. 考虑如何保证没有环,钦定完出度为\(0\)的点后,这些点就等着被连接了.还剩下一些点,这些点只要不构成环就好了,就是个子结构,访问以前的DP数组就好了. \[ {i\choose j}2^{j\times (i-j)}dp_{i-j} \] 这样转移显然有方案重复的情况,因为如此计…

有黑白关系: 枚举左部点(黑色点),然后$2^{i*(n-i)}$处理方法同:COGS 2353 2355 2356 2358 有标号的DAG计数 无关系: 发现,假设$f(i)$是一个连通块,对于一个连通块,变成无颜色的,除以二即可 由结论COGS 2353 2355 2356 2358 有标号的DAG计数:G,F为EGF,$G=ln F$ 所以方案就是:$e^{\frac{lnF}{2}}$ 至于连通的话,不用exp就可以了…

题面 题目描述 给定一正整数n,对n个点有标号的有向无环图进行计数. 这里加一个限制:此图必须是弱连通图. 输出答案mod 998244353的结果 输入格式 一个正整数n. 输出格式 一个数,表示答案. 样例输入 3 样例输出 18 提示 对于第i个点 1<=n<=10000i. 题目分析 综合COGS2355 [HZOI 2015] 有标号的DAG计数 II与[2013集训胡渊鸣]城市规划. \(f(i)\)用前一题的方法求出,用后一题的方法推出\(g(i)\)即为答案. 代码实现 #in…

有标号的DAG计数系列 有标号的DAG计数I 题意 给定一正整数\(n\),对\(n\)个点有标号的有向无环图(可以不连通)进行计数,输出答案\(mod \ 10007\)的结果.\(n\le 5000\) 题解 显然是\(O(n^2)\)来做. 设\(f(i)\)表示\(i\)个点有标号的有向无环图的个数.而\(DAG\)中的特殊点显然只有两种,要么是出度为\(0\),要么入度为\(0\).随便枚举哪一种都行,这里枚举入度为\(0\)的点. 那么得到式子: \[f(n)=\sum_{i=1}^…

COGS 2580. [HZOI 2015]偏序 II 题目传送门 题目大意:给n个元素,每个元素有具有4个属性a,b,c,d,求i<j并且ai<aj,bi<bj,ci<cj,di<dj的i,j对数有多少? a,b,c,d均为1~n的排列,即不会有i,j使得ai=aj or bi=bj or ci=cj or di=dj. 题目是离线的,cdq分治可以很好的解决这一类问题.cdq套cdq套cdq再加个bit就行了. 第一层的cdq处理a,保证a有序, 第二层在第一层的基础上处…

2123. [HZOI 2015] Glass Beads ★★★   输入文件:MinRepresentations.in   输出文件:MinRepresentations.out   简单对比时间限制:1 s   内存限制:1024 MB [题目描述] 给定长度为n(n<=300000)的循环同构的字符串,定义最小表示为该字符串的字典序最小的同构表示,请输出这个表示. [输入格式] 第一行是串的长度,第二行是字符串. [输出格式] 串的最小表示. [样例输入] 10 helloworld…

2320. [HZOI 2015]聪聪的世界 时间限制:6 s   内存限制:512 MB [题目描述] 背景: 聪聪的性取向有问题. 题目描述: 聪聪遇到了一个难题: 给出一个序列a1…an,完成以下操作: 1  x 询问从x向左数第一个<ax的数: 2  x 询问从x向左数第一个>ax的数: 3  x 询问从x向右数第一个<ax的数: 4  x 询问从x向右数第一个>ax的数: 5  x y 交换ax与ay: 6  x y w 给ax…ay加上w: 7  x y w 给ax…a…

  题目描述: 给定n个数X1-Xn,求下面式子的值(整数部分): n<=107,xi<=109且互不相同. 分析: 其实一开始看见这道题我也吓傻了,k这么大,再说我又是数论鶸渣,打死也不会= = 后来看了各路神犇的题解,又仔细想了想,大概明白了. 首先,k这么大,已经不是高精乘和高精开方所能承受的了(当然,你也可以找个超级计算机算算试试) 所以我们可以把k视为∞(INF). 极限思想,由于xi互不相同,所以每个元素在比它稍微大一点点的数面前都是微乎其微,不会影响到整数部分的. (可以粗略验证…

Description 题库链接 现在在二维平面内原点上有一只机器人,他每次可以选择向右走,向左走,向下走,向上走和不走(每次如果走只能走一格).机器人不能走到横坐标是负数或者纵坐标是负数的点上. 给定操作次数 \(n\) ,求有多少种不同的操作序列使得机器人在操作后会回到原点,输出答案模 \(998244353\) 后的结果. \(1\leq n\leq 100000\) Solution 应该不难想吧... 显然我们先考虑前四种走法...不走的情况可以组合数求出来. 对于一类操作(向上向下或…

Description 你还梦不梦痛不痛,回忆这么重你怎么背得动 ----序言 当年的战火硝烟已经渐渐远去,可仇恨却在阿凯蒂王子的心中越来越深 他的叔父三年前谋权篡位,逼宫杀死了他的父王,用铁血手腕平定了国内所有的不满 只有他一个人孤身逃了出来,而现在他组织了一只强大的军队,反攻的号角已经吹响 大战一触即发,作为他的机智又勇敢的指挥官,你必须要准确及时的完成他布置的任务 这个国家的布局是一棵树,每个城市都是树上的结点,其中每个结点上都有军队ai(人数) 树上的每条边有边权wi,表示通过这条边所需…

★★   输入文件:B_Tree.in   输出文件:B_Tree.out   简单对比时间限制:2 s   内存限制:512 MB [题目描述] 给定一棵有根树,树根为1,一开始这棵树所有节点均为白色 之后给定一个染色序列,第i个数ai表示将ai这个点染黑 之后给定若干询问 询问第L到第R个染黑的黑点和u所有的LCA中深度最大的LCA的编号 [输入格式] 第一行n,m,q 表示节点总数,染色序列长度,询问个数 以下n-1行,每行u,v描述一条边的两个端点 之后m个正整数表示染色序列 之后q行,…

额,其实就是裸的三模数NTT,上一篇已经说过了 哦,还有一个就是对乘起来炸long long的数取模,用long double之类的搞一下就好,精度什么的,,(看出题人心情??) #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<algorithm> #include<cstring> #define LL long long #define N 300005 using namespace std; inline in…

Description 给定一正整数n,对n个点有标号的有向无环图进行计数,这里加一个限制:此图必须是弱连通图.输出答案 mod 10007 的结果. Solution 弱连通图即把边变成无向之后成为连通的图 考虑补集转换,用 \(DAG\) 的方案数减去不连通的方案数 设 \(f[i]\) 为大小为 \(i\) 的\(DAG\)的方案数 可以像 \(DAG I\) 那样求出来 \(g[i]\) 为弱连通图的方案数 \(g[n]=f[n]-\sum_{i=1}^{n}g[i]*f[i-j]*C_…

题面 题目描述 给定一正整数n,对n个点有标号的有向无环图(可以不连通)进行计数,输出答案mod 10007的结果 输入格式 一个正整数n 输出格式 一个数,表示答案 样例输入 3 样例输出 25 提示 对于20%的数据:n<=5 对于50%的数据:n<=500 对于100%的数据:1<=n<=5000 题目分析 设\(f(i)\)表示有\(i\)个点构成DAG图 设其中\(j\)个点出度为\(0\),则有: \[ f(i)=\sum_{j=1}^i\binom ij2^{(i-j…

传送门 II 设 \(f_i\) 表示 \(i\) 个点的答案 那么枚举至少 \(j\) 个点的出度为 \(0\) \[\sum_{j=0}^{i}(-1)^j\binom{i}{j}f_{i-j}2^{(i-j)j}=0\] 所以 \[f_i=\sum_{j=1}^{i}(-1)^{j+1}\binom{i}{j}f_{i-j}2^{(i-j)j}\] 即 \[\frac{f_i}{i!}=\sum_{j=0}^{i-1}\frac{f_j}{j!}\frac{(-1)^{i-j+1}}{(i…

题解: https://www.cnblogs.com/zhoushuyu/p/10077241.html 看到这么一篇,发现挺不错的..…

看了某神仙博客学了一手,基本的思路就是容斥入度为0的点. n^2做法. F(n)=sigema i (-1)^(i-1)✖ C(n,i)✖ F(i)✖ 2^(j*(i-j)) nlogn做法 对上述式子进行优化 (引用了yyb大佬博客的图片,非常感谢,侵删) (留下了不会用Latex的眼泪) 上述式子xjb做的话可以分治NTT,但那样做很蠢,没必要. 这个式子还挺经典的,是一个F[n]=sigema F[i]G[n-i]的形式. 此时存在等式F(x)=F(X)G(X)+1,因此直接求逆即可. 如…

有标号DAG计数 题目在COGS上 [HZOI 2015]有标号的DAG计数 I [HZOI 2015] 有标号的DAG计数 II [HZOI 2015]有标号的DAG计数 III I 求n个点的DAG(可以不连通)的个数.\(n \le 5000\) 2013年王迪的论文很详细了 感觉想法很神,自己怎么想到啊? 首先要注意到DAG中一类特殊的点:入度为0的点.以这些点来分类统计 先是一种\(O(N^3)\)的dp, \(d(i,j)\) i个点j个入度为0,转移枚举去掉j个后入度为0点的个数,…

COGS索引 一堆神仙容斥+多项式-- 有标号的DAG计数 I 考虑\(O(n^2)\)做法:设\(f_i\)表示总共有\(i\)个点的DAG数量,转移考虑枚举DAG上所有出度为\(0\)的点,剩下的点可以选择连向它,剩下的点之间也可以连边. 但是注意到这样子转移可能会存在剩下的点中有点没有出度的情况,考虑容斥解决:设枚举的出度为\(0\)的点的个数为\(i\)时的容斥系数为\(f_i\),那么一个实际上存在\(x\)个出度为\(0\)的点的DAG的贡献就是\(\sum\limits_{i=1}…

[题意][COGS 2287][HZOI 2015]疯狂的机器人 [算法]FFT+卡特兰数+排列组合 [题解]先考虑一维的情况,支持+1和-1,前缀和不能为负数,就是卡特兰数的形式. 设C(n)表示第n/2个卡特兰数,当n为奇数时为0,即: $$C_n=\binom{n}{\frac{n}{2}}-\binom{n}{\frac{n}{2}-1},n\%2=0$$ 卡特兰数可以通过预处理阶乘和逆元后O(1)计算. 设f[n]表示走n步回到原点的操作序列数,那么答案要求所有f[i],通过枚举纵向行…

[合集]有标号的DAG图计数(合集) orz 1tst [题解]有标号的DAG计数1 [题解]有标号的DAG计数2 [题解]有标号的DAG计数3 [题解]有标号的DAG计数4…