一.欧几里得算法及其证明 1.定义: 欧几里得算法又称辗转相除法,用于求两数的最大公约数,计算公式为GCD(a,b)=GCD(b,a%b): 2.证明: 设x为两整数a,b(a>=b)的最大公约数,那么x|a,x|b; ①由整数除法具有传递性(若x能整除a,x能整除b,那么x可整除a,b的任意线性组合)知x|a-b; ②设x不是b的因子,则x不是b和a-b的公因子:设x不是a的因子,则x不是b和a-b的公因子:所以可以得出GCD(a,b)=GCD(b,a-b); ③由a>=b知,a可表示为a=

关于欧几里得算法求最大公约数算法, 代码如下: int gcd( int a , int b ) { if( b == 0 ) return a ; else gcd( b , a % b ) ; } 证明: 对于a,b,有a = kb + r  (a , k , b , r 均为整数),其中r = a mod b . 令d为a和b的一个公约数,则d|a,d|b(即a.b都被d整除), 那么 r =a - kb ,两边同时除以d 得 r/d = a/d - kb/d = m (m为整数,因为r也

浅谈扩展欧几里得(扩展GCD)算法 本篇随笔讲解信息学奥林匹克竞赛中数论部分的扩展欧几里得算法.为了更好的阅读本篇随笔,读者最好拥有不低于初中二年级(这是经过慎重考虑所评定的等级)的数学素养.并且已经学会了学习这个算法的前置知识:欧几里得算法. 对于对欧几里得算法还有知识模糊的读者,请不要担心,这里为你准备了前导知识讲解,请移步至本蒟蒻的另两篇博客: 浅谈GCD 求最大公约数的方式 裴蜀定理 裴蜀定理的概念及证明 因为翻译版本的不同,这个定理可能还会被叫做贝祖定理.\(B\acute{e}zou

有这样的问题: 给你两个整数数$(a,b)$,问你整数$x$和$y$分别取多少时,有$ax+by=gcd(x,y)$,其中$gcd(x,y)$表示$x$和$y$的最大公约数. 数据范围$a,b≤10^{18}$. 求解这个问题有一种方法,叫做扩展欧几里得算法(简称扩欧),其本质是一个递归求解的过程. 首先由一个前置的结论是$gcd(x,y)=gcd(y,x\%y)$.此处的$\%$为$c++$中取模操作,下同. 我们不妨设$a>b$ 当$a≠0,b=0$时,则显然有$x=1,y=0$.此时$gc

最大公约数(Greatest Common Divisor, GCD),是指2个或N个整数共有约数中最大的一个.a,b的最大公约数记为(a, b).相对应的是最小公倍数,记为[a, b]. 在求最大公约数的几种方法中,欧几里得算法(辗转相除法)最为出名: 计算(a, b), 若b是0,则最大公约数为a:否则.将a除以b得到余数r,a和b的最大公约数就是b和r的最大公约数,即:(a, b) = (b, r) public static int gcd(int a ,int b){ if(b ==

#include <stdio.h> int main(int argc, char *argv[]) { int a,b,c; scanf("%d %d",&a,&b); ) { c=a%b; a=b; b=c; } printf("%d\n",a); ; }

Bryce1010模板 /**** *扩展欧几里得算法 *返回d=gcd(a,b),和对应等式ax+by=d中的x,y */ long long extend_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y) { if(a==0&&b==0)return -1;//无最大公约数 if(b==0){x=1;y=0;return a;} long long d=extend_gcd(b,a%b,y,x); y-=a/b

欧几里得算法: 1.定义:gcd的意思是最大公约数,通常用扩展欧几里得算法求 原理:gcd(a, b)=gcd(b, a%b) 2.证明: 令d=gcd(a, b)  =>  a=m*d,b=n*d 则m*d=t*n*d+a%b  =>  a%b=d*(m-t*n) gcd(b, a%b)=gcd(n*d, (m-t*n)*d) 令gcd(n, m-t*n)=e  =>  n=x*e,m-t*n=y*e 则m-x*e*n=y*e  =>  m=e*(x*n+y) 由gcd(n, m

写诗或者写程序的时候,我们经常要跟欧几里得算法打交道.然而有没要考虑到为什么欧几里得算法是有效且高效的,一些偏激(好吧,请允许我用这个带有浓重个人情感色彩的词汇)的计算机科学家认为,除非程序的正确性在数学上得到了完全严格的证实,否则我们不能认为程序是正确的.既然存在即合理,因此下面我就详细得解说一下欧几里得算法,它为什么是正确的算法(算法过程就不给出了,有了思想,无论是迭代还是循环实现应该都不成问题),为什么有那么好的时间复杂性. 首先还是证明上述命题:注意到证明了该命题就证明了欧几里得算法的正

根据lame定理,根据欧几里得算法求(a,b)的最大公因数过程如下(假设a>b):

1141. RSA Attack Time limit: 1.0 secondMemory limit: 64 MB The RSA problem is the following: given a positive integer n that is a product of two distinct odd primes p and q, a positive integer e such that gcd(e, (p-1)*(q-1)) = 1, and an integer c, fi

概念 在数学中,辗转相除法,又称欧几里得算法(英语:Euclidean algorithm),是求最大公约数的算法. 证明 首先假设有两个数a和b,其中a是不小于b的数,记a被b除的余数为r,那么a可以写成这样的形式: a = b*q + r 假设a和b的一个约数为u,那么a和b都能被u整除,即: a = su b = tu 带入原式可得 su = (tu)q + r r = su - (tu)q r = u*(s-tq) 所以 u 也是r 的公约数,即 a和b的约数也整除它们的余数r,所以a和

题目链接 题意简述 区间赋值模意义下等差数列,询问区间和 \(N\leq 10^9,Q\leq 10^5\) Sol 每次操作就是把操作区间\([L,R]\)中的数赋值成: \[(X-L+1)*A\ mod\ B\] 考虑用线段树维护. 我们只需要能快速知道一段区间\([l,r]\)被覆盖后的和就行了,因为覆盖的标记易于下传: \[\sum_{i=l}^{r} (i-L+1)*A\ mod\ B\] 根据基础的数学知识,mod显然不好算,把它拆开: \[\sum_{i=l}^r (i-L+1)*

欧几里得算法 欧几里得算法基于的性质: 若\(d|a, a|b\),则\(d|(ax+by)\) \((a,b)=(b,a~mod~b)\) 第二条性质证明: \(\because a~mod~b=a-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor\times b\),令\(c=\lfloor \frac{a}{b} \rfloor\) 则问题等价于证明\((a,b)=(b,a-c\times b)\) 这个证明方法就和裴蜀定理的证明差不多. 证明:令\(d=gcd(a,b)\),则\(

相信大家对欧几里得算法,即辗转相除法不陌生吧. 代码如下: int gcd(int a, int b){ return !b ? gcd(b, a % b) : a; } 而扩展欧几里得算法,顾名思义就是对欧几里得算法的扩展. 切入正题: 首先我们来看一个问题: 求整数x, y使得ax + by = 1, 如果gcd(a, b) != 1, 我们很容易发现原方程是无解的.则方程ax + by = 1有正整数对解(x, y)的必要条件是gcd(a, b) = 1,即a, b 互质. 此时正整数对解

青蛙的约会 writer:pprp Time Limit: 1000MS Memory Limit: 10000K Total Submissions: 119716 Accepted: 25238 Description 两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面.它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止.可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置.不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某

欧几里得& 拓展欧几里得(Euclid & Extend-Euclid) 欧几里得算法(Euclid) 背景: 欧几里德算法又称辗转相除法.用于计算两个正整数a.b的最大公约数. --百度百科 代码: 递推的代码是相当的简洁: int gcd(int a,int b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); } 分析: 方法说了是辗转相除法,自然没有什么好介绍的了. . Fresh肯定会认为这样递归下去会不会爆栈?实际上在这里是不会爆栈的,由于递归的层数是

题目 3在十进制下满足若各位和能被3整除,则该数能被3整除. 5在十六进制下也满足此规律. 给定数字k,求多少进制(1e18进制范围内)下能满足此规律,找出一个即可,无则输出-1. 题解 写写画画能找到规律,即是求与k互质的数x,x进制下即能满足上述规律. 相关 求最大公约数:辗转相除法(又叫欧几里得算法) 欧几里德定理: gcd(a, b) = gcd(b , a mod b) ,对于正整数a.b. 其中a.b大小无所谓.当a值小于b值时,算法的下一次递归调用就能够将a和b的值交换过来. 代码

欧几里得算法 又称辗转相除法 迭代求两数 gcd 的做法 由 (a,b) = (a,ka+b) 的性质:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) int gcd(int a,int b){ if(b==) return a; return gcd(b,a%b); } O(logn) 裴蜀定理: 设 (a,b) = d,则对任意整数 x,y,有 d|(ax+by) 成立: 特别地,一定存在 x,y 满足 ax+by = d 等价的表述:不定方程 ax+by = c(a,b,c 为整数)

求a,b的最大公约数我们经常用欧几里得算法解决,也称辗转相除法, 代码很简短, int gcd(int a,int b){ return (b==0)?a:gcd(b,a%b); } 但其中的道理却很深刻,完全理解不简单,以前都只是记一下代码,今天研究了很久,才差不多理解了其中的原因 从代码可以看出,gcd(a,b)=gcd(b,a%b),关键就在于证明这个等式 证明如下, 设c=gcd(a,b),则a=kc,b=nc(n,c为正整数), 设r=a%b,可得r=a-mb(m为a/b向下取整),