将要学习 关于 Hermite 矩阵的特征值不等式. Weyl 定理 以及推论.   Weyl 定理 Hermann Weyl 的如下定理是大量不等式的基础,这些不等式要么涉及两个 Hermite 矩阵之和,要么与加边的 Hermite 矩阵有关.     定理1(Weyl): 设 \(A,B \in M_n\) 是 Hermite 矩阵,又设 \(A,B\) 以及 \(A+B\) 各自的特征值分别是 \(\{\lambda_i(A)\}_{i=1}^n, \{\lambda_i(B)\}_{i

记录一下,以免忘了 对于一个形如 \[dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k][j]+w[i][j])\] 的转移方程(注意取最大值时不一定满足四边形不等式) 定理1 若对于\(a \leq b\leq c \leq d\)且\(w_{b,c}\leq w_{a,d}\) 那么我们称\(w\)关于区间包含关系单调 定理2 若对于\(a \leq b\leq c \leq d\)且\(w_{a,c}+w_{b,d}\leq w_{b,c}+w_{a,d}\) 则称\(w\)满足四边形

四边形不等式 定义:设\(w(x,y)\)是定义在整数集合上的的二元函数,若对于定义域上的任意整数\(a,b,c,d\),在满足\(a\leq b\leq c \leq d\)时,都有\(w(a,d)+w(b,c)\geq w(a,c)+w(b,d)\)成立,则称函数\(w\)满足四边形不等式. 定理1:四边形不等式的等价表达 \(w(x,y)\)是定义在整数集合上的的二元函数,若对于定义域上的任意整数\(a,b\),在满足\(a< b\)时,都有\(w(a,b+1)+w(a+1,b)\geq

四边形不等式 定理1: 设w(x,y)为定义在整数集合上的二元函数,若存在任意整数a,b,c,d(a<=b<=c<=d),并且w(a,d)+w(b,c)>=w(a,c)+w(b,d)都成立,则w(x,y)满足四边形不等式. 定理2: 设w(x,y)为定义在整数集合上的二元函数,若存在任意整数a,b(a<b),并且w(a,b+1)+w(a+1,b)>=w(a,b)+w(a+1,b+1)都成立,则w(x,y)也满足四边形不等式. 用数学归纳法证明即可. 决策单调性 假设转移

<Deep Learning> Ian Goodfellow Yoshua Bengio Aaron Courvill 关于此书Part One重难点的个人阅读笔记. 2.7 Eigendecomposition we decompose a matrix into a set of eigenvectors and eigenvalues. 特征值与特征向量: 应用非常广泛: 图像处理中的PCA方法,选取特征值最高的k个特征向量来表示一个矩阵,从而达到降维分析+特征显示的方法, 还有图像压缩

将学习到什么 从 Jordan 标准型出发,能够获得非常有用的信息.   Jordan 矩阵的构造 Jordan 矩阵 \begin{align} J=\begin{bmatrix} J_{n_1}(\lambda_1) & & \\ & \ddots & \\ && J_{n_k}(\lambda_k) \end{bmatrix} , \quad n_1+n_2+\cdots+n_k = n \end{align} 有确定的构造,这种构造使得与之相似的任何

基于之前章节的铺垫,我们这里能够很容易的引出特征向量和特征值的概念. 首先我们知道n x n矩阵的A和n维向量v的乘积会得到一个n维的向量,那么现在我们发现,经过计算u=Av,得到的向量u是和v共线的,就是说向量v乘以矩阵A得到的向量u相对于向量v“拉伸”了,即满足如下的一个式子: Av =λv=u 那么这里我们称λ是矩阵A的特征值,v是对应特征值的特征向量. 严谨定义如下: 定理1: 三角矩阵的主对角线的元素是其特征值. 在证明之前,我们首先需要对定义做更充分的挖掘,特征向量x不能是零向量,我

转自:https://www.douban.com/group/topic/29658298/ 对正整数 $q$,定义张量 $T$,其对应的多项式为 $p(X,Y,Z)=\sum_{i=1}^q (X_0Y_iZ_i+X_iY_0Z_i+X_iY_iZ_0)$.对于 $\epsilon>0$,定义张量 $T(\epsilon)$,其对应的多项式为 \begin{align} &\left(\sum_{i=1}^q \epsilon^{-2} (X_0+\epsilon X_i)(Y_0+\e

区间dp:顾名思义就是在区间上进行动态规划,通过合并小区间求解一段区间上的最优解. 常见模板: for(int len=1;len<n;len++){//区间长度 for(int be=1;be+len<=n;be++){//起点 int en=be+len;//终点 for(int j=be;j<en;j++){//割点 dp[be][en]=min(dp[be][en],dp[be][j]+dp[j+1][en]+割点代价);(max也可以) } } } http://www.51n

写一写要讲什么免得忘记了.DP的优化. 大概围绕着"是什么","有什么用","怎么用"三个方面讲. 主要是<算法竞赛入门经典>里的题目讲解,但是有些过于简单的删去了,添加了一些不怎么简单的省选题目作为例子 这里的DP优化都是涉及到O(nk)到O(nk-1)方法比较巧妙也有用到数学里面的定理之类. 所以秉着由易到难的原则,安排内容如下: 专题1:动态规划基础知识和计数DP.数位DP(几大类DP的类型介绍) 专题2:DP的简单优化(稍微提

持续更新!! DP的难点主要分为两类,一类以状态设计为难点,一类以转移的优化为难点. DP的类型 序列DP [例题]BZOJ2298 problem a 数位DP 常用来统计或者查找一个区间满足条件的数,然后按数位顺序DO,一般需要仔细分情况讨论,常见处理如把区间拆为\([1,l),[1,r]\),记忆化,预处理等. [例题]BZOJ3131 淘金 概率DP 概率DP是对一类求时间概率或者期望概率DP的总称. 对于求概率问题,有时利用补集转化,有时将其转化为计数问题.求期望大多利用期望的线性性来

因为昨天在Codeforces上设计的区间dp错了(错过了上紫的机会),觉得很难受.看看学长好像也有学,就不用看别的神犇的了. 区间dp处理环的时候可以把序列延长一倍. 下面是 $O(n^3)$ 的朴素区间dp: ; len<=n; len++) { //枚举长度 ; i+len<=n+; i++) { //枚举起点 ; for(int k = i; k<j; k++) { //枚举分割点,更新小区间最优解 dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+][

将学习到什么 矩阵 \(A\) 与 \(\dfrac{1}{2}(A+A^T)\) 两者生成相同的二次型,而后面那个矩阵是对称的,这样以来,为了研究实的或者复的二次型,就只需要研究由对称矩阵生成的二次型.   基本概念   定义1: 矩阵 \(A=[a_{ij}] \in M_n\) 称为 Hermite 的,如果 \(A=A^*\):它是斜 Hermite 的,如果 \(A=-A^*\). 对于 \(A,B \in M_n\),可得出很多简单明了的结论:   (1) \(A+A^*\), \(

参考资料: 李煜东<算法竞赛进阶指南> 斜率优化 形如: \(f[i] = min\{f[j]+val(i,j)\}\)的dp,多项式\(val(i,j)\)包含\(i,j\)的乘积项 引入一个例题: [HNOI2008]玩具装箱TOY \(dp[i] = min\{dp[j] + (sum[i] + i - sum[j] - j-L-1)^2\}(j < i)\) 定义:\(a[i]=sum[i]+i,b[i]=sum[i]+i+L+1\) 则 \[ dp[i]=dp[j]+(a[i]

詹森不等式: 证明:

基于对概率问题的抽象化,通过期望.方差.随机变量X及其概率,我们想要通过几个量推出另外几个量的特征,笼统的来说,极限定理起到的作用便在于此 切比雪夫不等式: 在证明切比雪夫不等式之前,我们先要完成对马尔可夫不等式的证明. 马尔可夫不等式: 证明: 这里可能有人会问,为什么X和a必须取非负值呢?这里只要是为了满足第一个∵那里的不等式. 切比雪夫不等式: 证明: 可以看到,切比雪夫带给我们最直观的意义就是,在知道随机变量X的期望和方差的同时,利用它可以导出概率的上界.

众所周知,对一个$n$阶方阵求取特征值需要解一个一元$n$次方程,当$n$很大时,这是很难实现的.但是,在有些涉及矩阵的实际问题中,我们并不需要知道矩阵特征值的准确值,而只需要知道其大概范围就行了,例如判定一个线性系统最终是否会趋于稳定时,只需要看其特征方程的所有特征根是否均有负实部,即所有的特征根是否均落在$x$轴负半轴上就行了:判定一个$n$阶方阵是否半正定,只需要考察其所有特征值是否均非负,类似的例子还有很多,就不一一赘述了.那么对于这类问题,我们迫切地需要这样一个工具,相比于解$n$次的

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3506 四边行不等式:http://baike.baidu.com/link?url=lHOFq_58V-Qpz_nTDz7pP9xCeHnd062vNwVT830z4_aQoZxsCcRtac6CLzbPYLNImi5QAjF2k9ydjqdFf7wlh29GJffeyG8rUh-Y1c3xWRi0AKFNKSrtj3ZY7mtdp9n5W7M6BBjoINA-DdplWWEPSK#1 dp[i][j]表示第

该来的总是要来的———————— 经典问题,石子合并. 对于 f[i][j]= min{f[i][k]+f[k+1][j]+w[i][j]} From 黑书 凸四边形不等式:w[a][c]+w[b][d]<=w[b][c]+w[a][d](a<b<c<d) 区间包含关系单调: w[b][c]<=w[a][d](a<b<c<d) 定理1:  如果w同时满足四边形不等式和决策单调性 ,则f也满足四边形不等式 定理2:  若f满足四边形不等式,则决策s满足 s[i

VC定理的证明 本文讨论VC理论的证明,其主要内容就是证明VC理论的两个定理,所以内容非常的枯燥,但对于充实一下自己的理论知识也是有帮助的.另外,VC理论属于比较难也比较抽象的知识,所以我总结的这些证明难免会有一些错误,希望各位能够帮我指出. (一)简单版本的VC理论. 给定一个集合系统$(U,\mathcal{S})$,VC理论可以解决以下问题.对于一个在$U$上的分布$P$,那么至少需要选择多少个样本(根据分布$P$选择),才能使对每个$S\in\mathcal{S}$,用样本估计出来的值以