BZOJ1430:运用Cayley定理解决树的形态统计问题 由Prufer编码可以引申出来一个定理:Cayley 内容是不同的n结点标号的树的数量为n^(n-2) 换一种说法就是一棵无根树,当知道结点总数的时候,其最多可能有n^(n-2)种形态 这只是形态而已 对于BZOJ1430这道题 题目的打架关系可以用无根树来描述 除了形态之外,还要考虑打架的顺序,一共(n-1)!种 乘起来即可 #include<cstdio> ; int n; ; int main() { scanf("%

参考资料: 1.matrix67 <经典证明:Prüfer编码与Cayley公式> 2.百度百科 3.Forget_forever prufer序列总结 4.维基百科 5.dirge的学习笔记 一.Cayley定理 我们先讲讲Cayley公式/定理?. 凯莱定理,是所有群 G 同构于在 G 上的对称群的子群. 什么鬼?! 其实定理还有另一种表述:过n个有标志顶点的树的数目等于n^(n-2),也即完全图K_n有n^(n-2)棵生成树. 此定理说明用n-1条边将n个一致的顶点连接起来的连通图的个数

Cayley 定理 节点个数为 \(n\) 的无根标号树的个数为 \(n^{n−2}\) . 这个结论在很多计数类题目中出现,要证明它首先需要了解 \(\text{Prufer}\) 序列的相关内容.接下来给出证明. 证明: 每一棵树都可以转换为一个 \(\text{Prufer}\) 序列. 根据定义,每一个节点在 \(\text{Prufer}\) 序列中出现的次数等于该节点度数减一,即 \(d_i–1\).整个 \(\text{Prufer}\) 序列的长度为 \(∑_id_i–1=2(n

描述 公元3000年,子虚帝国统领着N个星系,原先它们是靠近光束飞船来进行旅行的,近来,X博士发明了星际之门,它利用虫洞技术,一条虫洞可以连通任意的两个星系,使人们不必再待待便可立刻到达目的地. 帝国皇帝认为这种发明很给力,决定用星际之门把自己统治的各个星系连结在一起. 可以证明,修建N-1条虫洞就可以把这N个星系连结起来. 现在,问题来了,皇帝想知道有多少种修建方案可以把这N个星系用N-1条虫洞连结起来?   输入 第一行输入一个整数T,表示测试数据的组数(T<=100)每组测试数据只有一行,

题意 n个点问有多少种有顺序的连接方法把这些点连成一棵树. (n<=106) 题解 了解有关prufer编码与Cayley定理的知识. 可知带标号的无根树有nn-2种.然后n-1条边有(n-1)!的先后连接顺序. 所以答案为nn-2(n-1)! #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<cmath> #include<algorithm> using nam

ThinkPHP公共配置文件与各自项目中配置文件组合的方法 文章TAG:thinkphp 公共配置文件 时间:2014-11-25来源:www.aspku.com 作者:源码库 文章热度: 146 ℃ 过期已备案域名,注册就能用!终身VIP会员,畅享源码下载织梦精美仿站,火热预定中! 这篇文章主要介绍了ThinkPHP公共配置文件与各自项目中配置文件组合的方法,涉及array_merge函数将多个数组合并的方法,是ThinkPHP项目开发中非常实用的技巧,需要的朋友可以参考下       本文实

题目链接:传送门 思路: 计数.树的结构和边权的计数可以分开讨论. ①假设从a到b的路径上有e条边,那么路径上就有e-1个点.构造这条路径上的点有$A_{n-2}^{e-1}$种方案: ②这条路径的权值的选择,可以用隔板法来做,相当于用e-1个隔板分开m个球,要求每个区间至少有一个球,那么就相当于在m-1个间隙里插入e-1个隔板,有$C_{m-1}^{e-1}$种方案: ③在路径之外的点还有n-e-1个,对应有n-e-1条边,每条边的权值可取[1, m],所以有mn-e-1种方案: ④在路径之外

背景(在codeforces 917D 报废后,看题解时听闻了这两个玩意儿.实际上917D与之“木有关西”,也可以认为是利用了prufer的一些思路.) 一棵标号树的Pufer编码规则如下:找到标号最小的叶子节点,输出与它相邻的节点到prufer 序列, 将该叶子节点删去,反复操作,直至剩余2个节点. 因为有n-2位,每位可以等于1,2,……,n,所以对应着有nn-2种生成树. 即Cayley定理(在组合数学中的应用):有n个标志节点的树的数目等于nn-2.(在一个n阶完全图的所有生成树的数量为

Lily: “Chantarelle was part of my exotic phase.”Buffy: “It’s nice. It’s a mushroom.”Lily: “It is? That’s really embarrassing.”Buffy: “Well, it’s an exotic mushroom, if that’s any comfort.”Joss Whedon, "Anne".A little girl whose name is Anne Spetri

看到\(purfer\)序列板子后,想到这个名词在哪见过,于是找到了一个题,还带出一个: \(T1\). 题目链接:P4430 小猴打架 开始极其懵逼,考虑过大力容斥,但还是失败了,原来是: Cayley定理(凯莱,反正是个神犇就对了): \(n\)个节点的带标号的形态不同的无根树有\(n^{n-2}\)个, 再乘上\((n-1)!\)种生成方式即可, \[ans=(n-1)!×n^{n-2}\] 时间复杂度\(O(n+logn)\),你要是会快速阶乘,就可以\(O(logn)\)了. \(Co

${\color{Teal} {Ceva定理}}$设$D.E.F$依次为三角形ABC的边$AB.BC.CA$的内点,记 $λ$=(A,B,D),$μ$=(B,C,E),$v$=(C,A,F) 求证:三条线段$AE.BF.CD$交于一点的充要条件是$λμv$=1 $\textbf{法一(向量法)}$ pf: 因为$$λ=(A,B,D)$$所以$$λ=\frac{AD}{DB}$$所以$$\overrightarrow {AD}=\frac{λ}{1+λ}\overrightarrow {AB}$$

1. 同列多行数据组合成一个字段cell的方法, top N 问题的hive方案 如下: hive 列转行 to json与to array list set等复杂结构,hive topN的提取的窗口统计方法 select ll, collect_list(n) , -- 将topN 转换成 List or Json with the help of collect_set(xx) collect_list(xx) collect_list(nn), collect_list(ll), coll

题意:给定三个正整数N.L和R, 统计长度在1到N之间,元素大小都在L到R之间的单调不降序列的数量. 输出答案对10^6+3取模的结果. 对于100%的数据,1≤N,L,R≤10^9,1≤T≤100,输入数据保证L≤R. 题意:WYZ作业 L和R本身没有意义,等价于[1,R-L+1],共有R-L+1种取值方法 显然是一个阶梯状的东西 但我们直接算需要枚举长度,通分又很麻烦 考虑使用R-L填充长度不足N的区间,这样问题就转化为: 求长度为N,元素大小都在1到R-L之间的单调不降序列的数量 需要注意

组合 FZU-2020 题目描述 给出组合数C(n,m), 表示从n个元素中选出m个元素的方案数.例如C(5,2) = 10, C(4,2) = 6.可是当n,m比较大的时候,C(n,m)很大!于是xiaobo希望你输出 C(n,m) mod p的值! 分析 Lucas定理: 如果我们要求C(n,m)%p的值,那么 进行推导可以得到 这一道题使用Lucas定理的递归式 \[C^n_m \ mod \ p= C^{n\ mod \ p}_{m\ mod \ p}\times C^{n\div p}

4591: [Shoi2015]超能粒子炮·改 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 178  Solved: 70[Submit][Status][Discuss] Description 曾经发明了脑洞治疗仪&超能粒子炮的发明家SHTSC又公开了他的新发明:超能粒子炮·改--一种可以发射威力更加 强大的粒子流的神秘装置.超能粒子炮·改相比超能粒子炮,在威力上有了本质的提升.它有三个参数n,k.它会 向编号为0到k的位置发射威力为C(n

题意: 曾经发明了脑洞治疗仪&超能粒子炮的发明家SHTSC又公开了他的新发明:超能粒子炮·改--一种可以发射威力更加 强大的粒子流的神秘装置.超能粒子炮·改相比超能粒子炮,在威力上有了本质的提升.它有三个参数n,k.它会 向编号为0到k的位置发射威力为C(n,k) mod 2333的粒子流.现在SHTSC给出了他的超能粒子炮·改的参数,让你求 其发射的粒子流的威力之和模2333. n,k<=10^18 cas<=10^5   思路:WYZ作业 应该是一道在草稿纸上就能完成大半部分的题

第一次更改:http://blog.sina.com.cn/s/blog_51cea4040100h152.html 讲的更细致 增广路:https://blog.csdn.net/qq_37457202/article/details/80161274 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 看 博客 https://blog.

坐标平面上的三点,A(x1,y1),B(x1,y2),C(x2,y1),假设有概率分布 p(x,y)(P(X=x,Y=y) 联合概率),则根据联合概率与条件概率的关系,则有如下两个等式: {p(x1,y1)p(y2|x1)=p(x1)p(y1|x1)p(y2|x1)p(x1,y2)p(y1|x1)=p(x1)p(y2|x1)p(y1|x1) 因此有: p(x1,y1)⋅p(y2|x1)=p(x1,y2)⋅p(y1|x1) 对于此坐标平面上的三点而言,即为:p(A)⋅p(y2|x1)=p(B)⋅p

本文本来是想放在Borsuk-Ulam定理的应用这篇文章当中.但是这个文章实在是太长,导致有喧宾夺主之嫌,从而独立出为一篇文章,仅供参考.$\newcommand{\di}{\mathrm{dist}}$ (图1:Kneser叙述他的猜想原文手稿)  引理1(Borsuk-Ulam) 对于任意$f:S^n\to\mathbb{R}^n$连续,存在$x\in S^n$使得$f(-x)=f(x)$. 目录 1 Lyusternik-Shnirel'man定理与Greene定理 2 Kneser猜想与

目录 @description@ @solution@ @accepted code@ @details@ @description@ n 个队伍两两之间比赛,保证没有平局. 现在给出 n 个队伍分别的获胜次数,询问这些数据是否合法. Input 先给出 T(T≤50) 表示数据组数. 对于每组数据给出 n(n≤50000) 表示参赛队伍数. 接下来 n 行,第 i 给出一个整数 ai (0≤ai<n) 表示第 i 个队伍的获胜次数. Output 对于每组数据,若不合法输出 "The d