[题目]G. Partitions [题意]n个数$w_i$,每个非空子集S的价值是$W(S)=|S|\sum_{i\in S}w_i$,一种划分方案的价值是所有非空子集的价值和,求所有划分成k个非空子集的方案的价值和.1<=k<=n<=2*10^5,1<=wi<=10^9. [算法]斯特林数 [题解]首先价值与具体数字没有关系,即: $$ans=num*\sum_{i=1}^{n}w_i$$ 其中num表示1在每个k划分方案中所在集合的大小的和. 考虑一种角度,所在集合的大

洛谷 Codeforces 这题真是妙的很. 通过看题解,终于知道了\(\sum_n f(n)^k​\)这种东西怎么算. update:经过思考,我对这题有了更深的理解,现将更新内容放在原题解下方. 思路 发现\(\sum_S (f(S))^k\)这东西因为有个\(k\)次方,所以特别难算,考虑拆开: \[ x^k=\sum_{i=0}^k {x \choose i} \times i! \times S(k,i) \] 其中\(S(n,m)\)是第二类斯特林数,即\(n\)个元素放进\(m​\

题目链接: http://codeforces.com/problemset/problem/140/E 题意: 圣诞树上挂彩球,要求从上到下挂\(n\)层彩球.已知有\(m\)种颜色的球,球的数量不限. 要求结果对\(p\)取模.然后给你\(n\)个数,表示第 \(i\) 根绳长 \(l_i\),也就是要挂 \(l_i\) 个球. \(1.\)要求每根绳上相邻彩球颜色不同. \(2.\)相邻的绳子上挂的彩球种类不能相同. 题解: 我们先解决子问题,先考虑第 \(i\) 层上能放多少个球,\(a

Codeforces 题面传送门 & 洛谷题面传送门 神仙题.在 AC 此题之前,此题已经在我的任务计划中躺了 5 个月的灰了. 首先考虑这个最短距离是什么东西,有点常识的人(大雾)应该知道,对于一个排列 \(p\) 而言,通过交换两个元素使其变成 \(1,2,3,4,\cdots,n\) 的最少步数等于 \(n\) 减去该排列中置换环的个数,因此对于两个排列 \(a,b\) 而言,将 \(a\) 变成 \(b\) 所需的最少步数即是在所有 \(a_i\) 与 \(b_i\) 之间连 \(a_i

Codeforces 题目传送门 & 洛谷题目传送门 首先看到这题我的第一反应是:这题跟这题长得好像,不管三七二十一先把 \(k\) 次方展开成斯特林数的形式,\(f(X)^k=\sum\limits_{i=0}^k\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}\dbinom{f(X)}{i}\),于是我们只需对所有 \(i\in[0,k]\) 求出 \(\sum\dbinom{f(X)}{i}\) 即可. 然后就不会做了/dk/wq 考虑 \(\dbinom{f(X)}{i}

Codeforces 题目传送门 & 洛谷题目传送门 神仙题,只不过感觉有点强行二合一(?). 首先考虑什么样的数组 \(a\) 符合条件,我们考虑一个贪心的思想,我们从前到后遍历,对于每一个 \(a_i\) 如果它已经在前面出现了就不断给它加 \(1\) 直到它没有出现过为止.如果某个 \(a_i\) 超过了 \(n\) 则不符合条件,正确性显然.这样看起来还是有点抽象,我们不妨把它转化成这样的模型:有一架飞机有 \(n\) 个位置,有 \(n\) 个乘客要登飞机,每个乘客都预定了一个位置 \

题目链接 题意 : 其实就是要求 分析 : 先暴力将次方通过第二类斯特林数转化成下降幂 ( 套路?) 然后再一步步化简.使得最外层和 N 有关的 ∑ 划掉 这里有个技巧就是 将组合数的表达式放到一边.然后通过组合意义来化简 然后就可以 O( k ^ 2 ) 算出答案了 另外化到后面其实有种产生 这里可以用另外一种方式化简 考虑其组合意义 相当于先从 n 个数中挑出 i 个数.然后再从 i 个数中取 j 个进行排列 其他数可选可不选 具体可以看 Click here #include<bits/s

传送门 解题过程: \(答案=\sum^n_{i=0}*C^i_n*{\frac{1}{m}}^i*{\frac{m-1}{m}}^{n-i}*i^k\) 根据第二类斯特林数的性质\(n^k=\sum^k_{i=0}S^i_k*i!*C^i_n=\sum^k_{i=0}S^i_k*n^\underline{i}\)将普通幂转为下降幂 \(=\sum^n_{i=0}C^i_n*{\frac{1}{m}}^i*{\frac{m-1}{m}}^{n-i}\sum^k_{j=0}S^j_k*i^\und

[CF961G]Partitions(第二类斯特林数) 题面 CodeForces 洛谷 题解 考虑每个数的贡献,显然每个数前面贡献的系数都是一样的. 枚举当前数所在的集合大小,所以前面的系数\(p\)就是: \[\begin{aligned} p&=\sum_{i=1}^n{n-1\choose i-1}i\begin{Bmatrix}n-i\\k-1\end{Bmatrix}\\ &=\sum_{i=1}^n{n-1\choose i-1}i\frac{1}{(k-1)!}\sum_{

题目链接:http://codeforces.com/gym/101147/problem/G 题意:n个人,去参加k个游戏,k个游戏必须非空,有多少种放法? 分析: 第二类斯特林数,划分好k个集合后乘以阶乘: #include <bits/stdc++.h> using namespace std; ; + 7L; long long stir[maxn][maxn]; long long fac[maxn]; void init() { fac[] = fac[] = ; ;i<=;

基本定义 第一类斯特林数:$1 \dots n$的排列中恰好有$k$个环的个数:或是,$n$元置换可分解为$k$个独立的轮换的个数.记作 $$ \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}. $$ 第二类斯特林数:将$n$个元素分成$k$个非空集合的方案数.记作 $$ \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix}. $$ 根据定义,我们有 $$ \sum_{k=0}^n \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix

题目链接:http://codeforces.com/gym/101147/problem/G G. The Galactic Olympics time limit per test 2.0 s memory limit per test 64 MB input galactic.in output standard output Altanie is a very large and strange country in Mars. People of Mars ages a lot. So

题目传送门 https://codeforces.com/contest/960/problem/G 题解 首先整个排列的最大值一定是 \(A\) 个前缀最大值的最后一个,也是 \(B\) 个后缀最大值的最后一个. 那么枚举一下最大值的位置为 \(i\),那么左右两边各选一些数的方案数为 \(\binom {n-1}{i-1}\). 然后,左边有 \(i-1\) 个数,要分成 \(A-1\) 个部分,每一个部分的第一个数是所有数中最大的,并且每一个部分之间的最大值要递增. 可以发现这个问题等价于

第一类斯特林数 定义 第一类Stirling数\(s(n,m)\),也可记为\(\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}\). 第一类Stirling分为无符号第一类Stirling数\(s_u(n,m)\)和带符号第一类Stirling数\(s_s(n,m)\). 他们分别表现为其升阶函数和降阶函数的各项系数,形式如下: \[ x^{n\downarrow}=x\cdot (x-1)\cdot (x-2)\cdots (x-n+1)=\sum_{k=0}^ns_s(n,

插板法基础知识 斯特林数见百科 #include<iostream> #include<cmath> #include<cstdio> #include<cstring> #define LL long long #define eps 1e-7 #define MOD 1000000007 using namespace std; ][]={},stir2[][]={}; int main(){ ;i<=;i++){ c[i][]=c[i][i]=;

Machine scheduling Time Limit: 5000/2000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 1000    Accepted Submission(s): 363 Problem Description A Baidu's engineer needs to analyze and process large amount of data o

Count the Buildings Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others)Total Submission(s): 1249    Accepted Submission(s): 408 Problem Description There are N buildings standing in a straight line in the City, numbere

这道题其实就是斯特林数,找不同的集合,一共有多少中组法,递推式就是dp[n][k] = dp[n - 1][k - 1] + k * dp[n - 1][k]; 这个式子可以这么解释,dp[n][k]就是总数为n分成k个集合一共有多少种, 它就有两种情况一种是第一个自己一个集合(也就是他自己一堆), 那么这种情况下的种类就是dp[n - 1][k - 1],就是剩下的n -1 个有k -1堆, 还有一种就是先把第一个拿出来,然后将剩下的n- 1个分成k个集合, 然后再把第一个随便放入一个, 但是

Examining the Rooms Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 1138    Accepted Submission(s): 686 Problem Description A murder happened in the hotel. As the best detective in the town, yo

[BZOJ5093]图的价值(第二类斯特林数,组合数学,NTT) 题面 BZOJ 题解 单独考虑每一个点的贡献: 因为不知道它连了几条边,所以枚举一下 \[\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^i·i^k·2^{\frac{n(n-1)}{2}}\] 因为有\(n\)个点,所以还要乘以一个\(n\) 所以,我们真正要求的就是: \[\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^i·i^k\] 怎么做? 看到了\(i^k\)想到了第二类斯特林数 \[m^n=\sum_{i=0}^{m}