1.Gram-Schmidt正交化 假设原来的矩阵为[a,b],a,b为线性无关的二维向量,下面我们通过Gram-Schmidt正交化使得矩阵A为标准正交矩阵: 假设正交化后的矩阵为Q=[A,B],我们可以令A=a,那么我们的目的根据AB=I来求B,B可以表示为b向量与b向量在a上的投影的误差向量: $$B=b-Pb=b-\frac{A^Tb}{A^TA}A$$   2.Givens矩阵与Givens变换 为Givens矩阵(初等旋转矩阵),也记作. 由Givens矩阵所确定的线性变换称为Giv

在MATLAB中,计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A),常用的调用格式有 5种:(1) E=eig(A):求矩阵A的全部特征值,构成向量E. 想求最大特征值用:max(eig(A))就好了.(2) [V,D]=eig(A):求矩阵A的全部特征值,构成对角阵D,并求A的特征向量构成 V的列向量.(3) [V,D]=eig(A,'nobalance'):与第2种格式类似,但第2种格式中先对A作相似 变换后求矩阵A的特征值和特征向量,而格式3直接求矩阵A的特征值和特征向量. (4) E=e

"QR_H.m" function [Q,R] = QR_tao(A) %输入矩阵A %输出正交矩阵Q和上三角矩阵R [n,n]=size(A); E = eye(n); X = zeros(n,); R = zeros(n); P1 = E; :n- s = -sign(A(k,k))*norm(A(k:n,k)); R(k,k) = -s; w = [A(,)+s,A(:n,k)']'; else w = [zeros(,k-),A(k,k)+s,A(k+:n,k)']'; R(:

#include <stdio.h> #include <math.h> #include <stdlib.h> #define M 3 //方阵的行数 列数 #define ε0 0.00000001//ε0为要求的精度 #define N 100000//最大迭代次数 //函数预声明 ], int m, int n);//矩阵的打印 void printVector(double a[], int m);//向量的打印 double dotVector(double

本文部分内容转自 https://www.cnblogs.com/chaosimple/p/3182157.html 一.统计学概念 二.为什么需要协方差 三.协方差矩阵 注:上述协方差矩阵还需要除以除以(n-1).MATLAB使用cov函数计算协方差时自动除以了(n-1),opencv使用calcCovarMatrix函数计算后还需要手动除以(n-1) 协方差具体计算 以学生成绩举例:有5名学生,参加数学.英语.美术考试,得分如图 1.计算均值矩阵M 均值是对每一列求平均值:means=[66

QR分解: 有很多方法可以进行QR迭代,本文使用的是Schmidt正交化方法 具体证明请参考链接 https://wenku.baidu.com/view/c2e34678168884868762d6f9.html 迭代格式 实际在进行QR分解之前一般将矩阵化为上hessnberg矩阵(奈何这个过程比较难以理解,本人智商不够,就不做这一步了哈哈哈) 迭代终止条件 看了很多文章都是设置一个迭代次数,感觉有些不是很合理,本来想采用A(k+1)-A(k)的对角线元素的二范数来作为误差的,但是我有没有一

Obvious,最小特征值对应的特征向量为平面的法向 这个问题还有个关键是通过python求协方差矩阵的特征值和特征向量,np.linalg.eig()方法直接返回了特征值的向量和特征向量的矩阵 scipy.linalg.eigh()方法可以对返回的特征值和特征向量进行控制,通过eigvals参数,可以控制,比如我要返回最小的特征值,和其对应的特征向量,那么就是eigvals(0:0),在升序的情况下.还是很有用的. scipy.linalg.eigh(a, b=None, lower=True

Python计算特征值与特征向量案例 例子1 import numpy as np A = np.array([[3,-1],[-1,3]]) print('打印A:\n{}'.format(A)) a, b = np.linalg.eig(A) print('打印特征值a:\n{}'.format(a)) print('打印特征向量b:\n{}'.format(b)) 打印A: [[ 3 -1] [-1 3]] 打印特征值a: [4. 2.] 打印特征向量b: [[ 0.70710678 0.

import numpy as np lis = np.mat([[1,2,3],[3,4,5],[4,5,6]]) print(np.linalg.inv(lis)) # 求矩阵的逆矩阵 [[-1.2009599e+16 3.6028797e+16 -2.4019198e+16] [ 2.4019198e+16 -7.2057594e+16 4.8038396e+16] [-1.2009599e+16 3.6028797e+16 -2.4019198e+16]] print(lis.trans

1. QR 分解的形式 QR 分解是把矩阵分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的积.QR 分解经常用来解线性最小二乘法问题.QR 分解也是特定特征值算法即QR算法的基础.用图可以将分解形象地表示成: 其中, Q 是一个标准正交方阵, R 是上三角矩阵. 2. QR 分解的求解 QR 分解的实际计算有很多方法,例如 Givens 旋转.Householder 变换,以及 Gram-Schmidt 正交化等等.每一种方法都有其优点和不足.上一篇博客介绍了 Givens 旋转和 Householder

[前言] 对于矩阵(Matrix)的特征值(Eigens)求解,采用数值分析(Number Analysis)的方法有一些,我熟知的是针对实对称矩阵(Real Symmetric Matrix)的特征值和特征向量(Characteristic Vectors)求解算法——雅克比算法(Jacobi).Jacobi算法的原理和实现可以参考[https://blog.csdn.net/zhouxuguang236/article/details/40212143].通过Jacobi算法可以以任意精度近

主要内容: 1.QR分解定义 2.QR分解求法 3.QR分解与最小二乘 4.Matlab实现   一.QR分解 R分解法是三种将矩阵分解的方式之一.这种方式,把矩阵分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的积. QR 分解经常用来解线性最小二乘法问题.QR 分解也是特定特征值算法即QR算法的基础. 定义: 实数矩阵 A 的 QR 分解是把 A 分解为Q.R,这里的 Q 是正交矩阵(意味着 QTQ = I)而 R 是上三角矩阵.类似的,我们可以定义 A 的 QL, RQ 和 LQ 分解. 更一般的说,我

转载网址:http://www.cnblogs.com/AndyJee/p/3846455.html 主要内容: 1.QR分解定义 2.QR分解求法 3.QR分解与最小二乘 4.Matlab实现 一.QR分解 R分解法是三种将矩阵分解的方式之一.这种方式,把矩阵分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的积. QR 分解经常用来解线性最小二乘法问题.QR 分解也是特定特征值算法即QR算法的基础. 定义: 实数矩阵 A 的 QR 分解是把 A 分解为Q.R,这里的 Q 是正交矩阵(意味着 QTQ = I)

将学习到什么 介绍了平面旋转矩阵,Householder 矩阵和 QR 分解以入相关性质.   预备知识 平面旋转与 Householder 矩阵是特殊的酉矩阵,它们在建立某些基本的矩阵分解过程中起着重要的作用. 平面旋转 设 \(1 \leqslant i < j \leqslant n\),称 为平面旋转或者 Givens 旋转. 容易验证对任何一对指数 \(i,j,(1 \leqslant i < j \leqslant n)\) 以及任何参数 \(\theta \in [0,2\pi)

    从矩阵分解的角度来看,LU和Cholesky分解目标在于将矩阵转化为三角矩阵的乘积,所以在LAPACK种对应的名称是trf(Triangular Factorization).QR分解的目的在于将矩阵转化成正交矩阵和上三角矩阵的乘积,对应的分解公式是A=Q*R.正交矩阵有很多良好的性质,比如矩阵的逆和矩阵的转置相同,任意一个向量和正交矩阵的乘积不改变向量的2范数等等.QR分解可以用于求解线性方程组,线性拟合.更重要的是QR分解是QR算法的基础,可以用于各种特征值问题,所以QR分集的应用非

转载请注明出处: http://www.cnblogs.com/darkknightzh/p/5585271.html 参考文档:mkl官方文档 lapack_int LAPACKE_sgeev(int matrix_layout, char jobvl, char jobvr, lapack_int n, float* a, lapack_int lda, float* wr, float* wi, float* vl, lapack_int ldvl, float* vr, lapack_i

矩阵的特征值和特征向量是线性代数以及矩阵论中很重要的一个概念.在遥感领域也是经经常使用到.比方多光谱以及高光谱图像的主成分分析要求解波段间协方差矩阵或者相关系数矩阵的特征值和特征向量. 依据普通线性代数中的概念,特征值和特征向量能够用传统的方法求得,可是实际项目中一般都是用数值分析的方法来计算,这里介绍一下雅可比迭代法求解特征值和特征向量. 雅克比方法用于求实对称阵的所有特征值.特征向量. 对于实对称阵 A,必有正交阵 U.使 U TA U = D. 当中 D 是对角阵,其主对角线元 li 是

最近需要用到C++和Matlab的混编,记录一下学习过程~ 要实现的是调用Matlab函数,求矩阵前k个最小的特征值及其特征向量. //C++ #include "engine.h" //使用Matlab引擎需要包含的头文件#include <iostream>using namespace std;int main(){ Engine *m_engine; //创建Matlab引擎 m_engine = NULL; //初始化引擎 if((!m_engine &&

一.复习几个矩阵的基本知识 1. 向量 1)既有大小又有方向的量成为向量,物理学中也被称为矢量,向量的坐标表示a=(2,3),意为a=2*i + 3*j,其中i,j分别是x,y轴的单位向量. 2)向量的点乘:a · b 公式:a · b = b · a = |a| * |b| * cosθ = x1 * x2 + y1 * y2点乘又叫向量的内积.数量积,是一个向量a和它在另一个向量b上的投影的长度的乘积,结果是一个标量: 如果两个向量的点乘是零, 那么这两个向量正交. 2)向量的叉乘:a X 

1 orthonormal 向量与 Orthogonal 矩阵 orthonormal 向量定义为 ,任意向量  相互垂直,且模长为1: 如果将  orthonormal 向量按列组织成矩阵,矩阵为 Orthogonal 矩阵,满足如下性质: : 当 为方阵时,为其逆矩阵:当  为长方形矩阵时,为其左逆: 当矩阵 Q 为正交矩阵时,对向量变换变换前后点积不发生改变,,证明如下: ,当 x = y 时,有  . 对任意向量 b ,可以分解为一组正交向量的线性组合,,要求解系数x,可先写成矩阵形式: